例2.Simpson公式 取x=4,x1=0.5(a+b),x2=b,则h=0.5(b-a) d---x x-1)x-x2) 2h2 l(x)= (x0-x1)(x0-x2) A=--4e l1(x)= (x-xo)(x-x2) -h2 (x1-x0)(x1-x2） 名--次- l2(x)= (x-xa)x-1) 2h2 (x2-o)x2-x1) fx。/@+4r牛色+fo1 L(x)=lo(x)yo+l(x)y1+1(x)y2 Simpson公式 11
11 取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则 h=0.5(b – a ) A0= (b-a)/6 A1=2(b-a)/3 A2= (b-a)/6 dx h x x x x A x x 2 0 2 1 2 0 2 ( )( ) dx h x x x x A x x 2 0 2 0 2 1 ( )( ) dx h x x x x A x x 2 0 2 0 1 2 2 ( )( ) ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 ( ) f b a b f a f b a f x dx b a Simpson 公式 例2. Simpson 公式 ( )( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x ( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 1 x x x x x x x x l x ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 x x x x x x x x l x L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
求积公式的代数精度 定义：对不高于m次的多项式Px),求积公式余项 RP1=P()dk-∑AP(x)=0 且有m+1次多项式不具有这样的性质，则称心fx)c≈∑Af(x) 具有m阶的代数精确度。 例.梯形公式广fxd,2Uo+fo1代数精度为. 12
12 定义: 对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项 例. 梯形公式 ( ) [ f (a) f (b)] b a f x dx b a 2 代数精度为1. n k k k b a f x dx A f x 0 ( ) ( ) 具有m阶的代数精确度。 且有m+1次多项式不具有这样的性质, 则称 [ ] ( ) ( ) 0 0 n k k k b a R P P x dx A P x 求积公式的代数精度
类似有：Simpson公式具有3阶代数精度. 对于n次Lagrange插值基函数，有恒等式 ,w=→24=c 所以，R[x]=0,(k=0,1,2,…,n) (n+1)点插值型求积公式代数精度至少为m阶. 例3.确定公式 f(x)dx Aof(0)+Af(h)+Af(2h) 使代数精度尽可能高 13
13 (n+1)点插值型求积公式代数精度 . 所以, R[xk] = 0, (k = 0,1,2,···,n) 例3. 确定公式 f (x)dx A f ( ) A f (h) A f ( h) h 0 0 1 2 2 3 0 使代数精度尽可能高. 类似有: Simpson公式具有3阶代数精度. 对于n次Lagrange插值基函数,有恒等式 b a k n j k j j A x x dx 0 k n j k j j l x x x 0 ( )
解：取fx)=1,七，x2若求积公式准确成立，则有 3h=A+A1+A2 3 h 92=0+Ah+A,2h A 9h3=0+Ah2+4h2A2 A 44 求积公式 ”fx本f0+f2具有至少2阶代数精度. 容易验证，对f(x)=x3求积公式式不能准确成立.因此这一 公式只具有2阶代数精度， 14
14 解: 取 f(x)= 1, x, x2 若求积公式准确成立, 则有 2 2 2 1 3 1 2 2 0 1 2 9 0 4 0 2 2 9 3 h A h h A h A h A h h A A A A h 4 3 0 A h 4 9 2 A1 = 0 ( ) ( ) f ( h) h f h f x dx h 2 4 9 0 4 3 3 0 求积公式 具有至少2阶代数精度. 容易验证, 对f (x) = x3 求积公式式不能准确成立. 因此这一 公式只具有2阶代数精度
取等距结点x,=a+jh时，插值型求积公式称为Newton-Cotes公式 f)≈2，(，)→∫2f(x)c≈A,f(x,) Newton-Cotes公式代数精度至少为n. 定理：当n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代 数精确度. 15
15 取等距结点xj = a + jh时, 插值型求积公式称为Newton-Cotes公式 定理: 当n为偶数时, n阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代 数精确度. n j j j f x l x f x 0 ( ) ( ) ( ) n j j j b a f x dx A f x 0 ( ) ( ) Newton-Cotes公式代数精度至少为n.