高斯消元法 方程组化简一消元过程 高斯消元与矩阵分解 三对角方程组的追赶法 1/25
1/25 高斯消元法 方程组化简—消元过程 高斯消元与矩阵分解 三对角方程组的追赶法
>线性方程组的矩阵形式 41心1+4122++41Xn=b1 21心1+L22X2++2mXn=b2 a,= n比1+n2++AnXn=bn (i=1,2,…,n) 12 b 线性方程组求解： L21 A22 X2 b2 ①.直接方法； 2.基本迭代法； An2 Xn」 3.子空间方法. AX=b X?→ b 2/25
2/25 Ø线性方程组的矩阵形式 a11x1+ a12x2+····+ a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+····+ a2nxn = b2 ··································· an1x1+ an2x2+····+ annxn = bn i n j aij x j b 1 n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 2 1 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 A X = b ( i=1,2,···,n ) 线性方程组求解: 1. 直接方法; 2. 基本迭代法; 3. 子空间方法. X ? b
>解线性方程组的克莱姆方法 1.输入矩阵A和右端向量b; 2.计算A的行列式D,如果D=0,则输出错信息结束， 否则进行3； 3.对=1,2，…，n用b替换A的第k列数据，并计算 替换后矩阵的行列式值Dk; 4.计算并输出X1=D1/D,,XnDm/D,结束。 计算量： n+1)n:(n-l) 高斯消元法 第一步：将方程组化简为三角形方程组； 第二步：解三角形方程组，获方程组的解。 3/25
3/25 Ø解线性方程组的克莱姆方法 1. 输入矩阵 A 和右端向量 b; 高斯消元法 第一步: 将方程组化简为三角形方程组; 第二步: 解三角形方程组,获方程组的解。 4. 计算并输出 x1 = D1 / D,····, xn =Dn /D, 结束。 3. 对 k=1,2,···,n 用 b 替换 A 的第 k 列数据,并计算 替换后矩阵的行列式值 Dk; 2. 计算 A 的行列式 D,如果 D=0,则输出错信息结束, 否则进行 3 ; 计算量： (n+1)n!(n-1)
>解上三角方程组 011x1+012x2++a1mn=b1 22x2++2mn=b2 (a1.m0) annXn bn 计算：xn=bn lann X=[bk一(ak,k+Xk++…+aknI/akk (k=n-1,…,1) 除法：n次；乘法：n(n-l)/2次， 乘、除法运算共n(n+1)/2次，简记为O(n2) 4/25
4/25 Ø解上三角方程组 nn n n n n n n a x b a x a x b a x a x a x b 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 计算：xn = bn /ann (a11…ann≠0) xk =[bk－(ak , k+1xk+1+ … + ak n)] / ak k ( k =n－1,···,1 ) 除法: n次; 乘法: n(n-1)/2次, 乘、除法运算共 n(n+1)/2 次, 简记为 O( n2 )
>消元过程（化一般方程组为上三角方程组） 01X1+12x2+413X3+414x4=b 21X1+22X2+23X3+424X4=b2 L31七1+L32七2+033X3+0344=b3 L41X1+L42X2+043七3+44x4=b4 11X1+12X2+413X3+0144=b1 a2x2+ax3+ax=b ax+ax=b ax=b 5/25
5/25 Ø消元过程(化一般方程组为上三角方程组) 41 1 42 2 43 3 44 4 4 31 1 32 2 33 3 34 4 3 21 1 22 2 23 3 24 4 2 11 1 12 2 13 3 14 4 1 a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b (3) 4 4 (3) 44 (2) 4 3 (2) 3 34 (2) 33 (1) 4 2 (1) 3 24 (1) 2 23 (1) 22 11 1 12 2 13 3 14 4 1 a x b a x a x b a x a x a x b a x a x a x a x b