电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第二章 定解问题与偏微分方程理论（2/4）

敫理方程与特殊函致 第二章定解问题与偏微分方程理论（二） 主讲：杨春

第二章 定解问题与偏微分方程理论(二) 主讲：杨春

主要内容 一、热传导与扩散方程定解问题 二、稳态方程的定解问题 三、物理系统可能涉及的其它几类条件

主要内容 一、热传导与扩散方程定解问题 二、稳态方程的定解问题 三、物理系统可能涉及的其它几类条件

今天学习热传导与稳态场方程定解问题 一、热传导与扩散方程定解问题 (一)细杆的热传导 1、物理背景 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 n 2、推导：设温度函数u化，) X x+dx X Adt 间内流入微元的热量为：d0=-kA ax 在at时间内流出徽元的热量为：dg,=-kAdh=-ku,(+k,04d

今天学习热传导与稳态场方程定解问题 (一) 细杆的热传导 1、物理背景 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。 一、热传导与扩散方程定解问题 u(x,t) x x+dx o x n 2、推导：设温度函数 在dt时间内流入微元的热量为： 1 u u dQ k Adt k Adt n x         在dt时间内流出微元的热量为： 2 ( , ) x u dQ k Adt ku x dx t Adt n       

在dt时间内微元吸收的净热量为： do=de-de =kAdilu,(x+dx,t)-u,(x,t)] x+dx 由比热公式： do=cmAT=cpAdxlu(x,t+di)-u(x,t)]=cpAu,dxdt 由热量守恒定律得：kAu,dxdt=cpAu,dkdt k u,a'us a2 cp 一维齐次热传导方程

在dt时间内微元吸收的净热量为： x x+dx o x n 1 2 [ ( , ) ( , )] dQ dQ dQ kAdt u x dx t u x t      x x 由比热公式： dQ cm T c Adx u x t dt u x t       [ ( , ) ( , )] t  c Au dxdt  由热量守恒定律得： xx t kAu dxdt c Au dxdt   2 u a u t xx  一维齐次热传导方程。 2 k a c 

n 注：如果杆的内部有热源，例如：假设热源的密度 为F(x,t),即单位时间里，单位长度放出的热量。 那么微元自身产生的热量为：F(x,t)Adxdt.。 X x+dx do=cmAT=cpAdxu(x,t+dt)-u(x,t)] cpAu,dxdt=kAu,dxdt+F(x,1)Adxdt 于是得到：cpAu,dxdt=kAu,dxdt+F(x,t)Adxdt ↓ cpu,=kux+F(x,t)〉 F(x,t) u = cp 4，=au.+f(x,t) 一维非齐次热传导方程

注：如果杆的内部有热源，例如：假设热源的密度 为F(x,t)，即单位时间里，单位长度放出的热量。 那么微元自身产生的热量为：F(x,t)Adxdt。 x x+dx o x n dQ cm T c Adx u x t dt u x t       [ ( , ) ( , )] ( , ) t xx    c Au dxdt kAu dxdt F x t Adxdt  于是得到： ( , ) t xx c Au dxdt kAu dxdt F x t Adxdt    ( , ) t xx c u ku F x t    ( , ) t xx k F x t u u c c     2 ( , ) u a u f x t t xx   一维非齐次热传导方程