电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第三章 分离变量法（4/4）

数理方程与特殊函激 第三章分离变量法（四） 主讲：杨春

第三章 分离变量法(四) 主讲：杨春

主要内容 一、边界条件齐次化 二、第三章总结

主要内容 一、边界条件齐次化 二、第三章总结

一、边界条件齐次化 背景：对于波动方程定解问题、热传导方程定解问题以及矩形域上稳态方程来说， 如果边界条件非齐火，不能够构建出固有值问题条件。因此，遇到这种情况，必须 首先解决边界条件的齐次化问题。如： 2 +f0<x<L,>0 u r2 ux=o=4(t),ux=L=42(t)） vi) 如何进行齐次化处理？

背景：对于波动方程定解问题、热传导方程定解问题以及矩形域上稳态方程来说， 如果边界条件非齐次，不能够构建出固有值问题条件。因此，遇到这种情况，必须 首先解决边界条件的齐次化问题。如： 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 ( , ),(0 , 0) ( ), ( ) ( ), ( ) x x L t t u u a f x t x L t t x u u t u u t u u x x t                            如何进行齐次化处理？ 一、边界条件齐次化

(一)、函数代换法 例题1将下面定解问题边界条件齐次化： a2u_202u 812 =a1 ⊙42 +f(x,),(0<x<L,t>0)…(I) ux=o=4(t),ux=L=4(t)…(2) 4o=风g1=ty-(6) 解：1、作函数代换 (x,t)=V(x,t)+W(x,t)…(4) 根据边界条件，选择恰当的函数W(x,t),使得函数V(x,t)的定解问题边界条件齐次

例题1 将下面定解问题边界条件齐次化： 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 ( , ),(0 , 0) (1) ( ), ( ) (2) ( ), ( ) (3) x x L t t u u a f x t x L t t x u u t u u t u u x x t                            解：1、作函数代换 (一)、函数代换法 u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) (4)   根据边界条件，选择恰当的函数W(x, t)，使得函数V(x, t)的定解问题边界条件齐次

2、代入（将（④）代入原定解问题) (x,t)=(x,t)+W(x,t)…(4) u a ax+fx0<<L>0)…0 Vi+Wr=aVs+a'Wg+f(x,t),(O<x<L,t>0) 10+Wl0=4(0,V-+WlxL=4,(0 4xo=4(t),4x=L=42(t)…(2) 4r-o=p(x,9 =o-0 o.v 3、确定W(x,t) Vlx-o+Wlo=4(t) V川x-0=0 →W=40(④ Vx=L+W=L=4(t) Vl-1=0 W1=4,0)…(⑤)

2、代入(将(4)代入原定解问题) 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 ( , ),(0 , 0) (1) ( ), ( ) (2) ( ), ( ) (3) x x L t t u u a f x t x L t t x u u t u u t u u x x t                            u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) (4)   2 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ( , ),(0 , 0) ( ), ( ) ( ), ( ) tt tt xx xx x x x L x L t t t t V W a V a W f x t x L t V W u t V W u t V W V W x x t t                                     3、确定W(x, t) 0 0 1( ) V W u t x x     V x0  0 0 1( ) (4) W u t x  2 ( ) V W u t x L x L     V x L  0 2 ( ) (5) W u t x L 