常微分方程数值解 差分格式的稳定性 线性多步法 常微分方程组的有限差分法 高阶常微分方程的有限差分法
1 差分格式的稳定性 线性多步法 常微分方程组的有限差分法 高阶常微分方程的有限差分法 常微分方程数值解
稳定性 定义若一种数值方法在节点值ym上大小为6的扰动，对于 以后各节点值y,m(>m)上产生的偏差均不超过δ，则称该方法 是稳定。 以欧拉法为例考察计算稳定性. 例考察初值问题 y'=-100y, y(0)=1. 其准确解y)=e-10x是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如 下图所示： 2
2 定义 若一种数值方法在节点值 yn 上大小为δ 的扰动，对于 以后各节点值 ym(m>n) 上产生的偏差均不超过δ，则称该方法 是稳定。 以欧拉法为例考察计算稳定性. 例 考察初值问题 (0 ) 1 . 100 , y y y 其准确解 y(x)=e -100x是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如 下图所示：
用欧拉法解方程y'=-100y得 y ym+1=(1-100h)yn 3 若取h=0.025,则欧拉公式的 2 X y-Y(x) 具体形式为 0.0250.050 0.0750.100 -2 Jym+1=-1.5yn3 -3 -4 -5 可以看到，欧拉方法的解ym(图中用×号标出) 在准确 值y(化)的上下波动，计算过程明显地不稳定. 但若取=0.005，则计算过程稳定 3
3 (1 100 ) . n 1 n y h y 若取 h=0.025，则欧拉公式的 具体形式为 1.5 , n 1 n y y 可以看到，欧拉方法的解 yn（图中用×号标出）在准确 值 y(xn )的上下波动，计算过程明显地不稳定. 但若取 h=0.005，则计算过程稳定. 用欧拉法解方程 y' = -100y 得
再考察欧拉隐式方法，取=0.025时计算公式为 1 yn+1= 3.5 计算结果如下，这时计算过程是稳定的， 计算结果对比 节点 欧拉方法 欧拉隐式方法 0.025 -1.5 0.2857 0.050 2.25 0.0816 0.075 -3.375 0.0233 0.100 5.0625 0.0067 4
4 . 3 .5 1 n 1 n y y 计算结果如下，这时计算过程是稳定的. 0 .100 5 .0625 0 .0067 0 .075 3 .375 0 .0233 0 .050 2 .25 0 .0816 0 .025 1 .5 0 .2857 节点 欧拉方法 欧拉隐式方法 再考察欧拉隐式方法，取 h=0.025 时计算公式为 计算结果对比
线性多步法的一般公式 如果计算y+k时，除用y+k-1的值，还用到y+i(=0,1,2,,k-2) 的值，则称此方法为线性多步法. 一般的线性多步法公式可表示为 yn+k=》 ay+Bf i=0 其中yHi为Jy(xH)的近似，f+i=f化ti,yi),xi=xo+h a1,:为常数，ao及阝不全为零，则称为线性k步法 计算时需先给出前面k个近似值o,y12,…yk-1,再逐次求出 Jyk,Jyk+1,yk+2)… 5
5 线性多步法的一般公式 如果计算yn+k时，除用 yn+k-1的值，还用到 yn+i (i=0,1,2,...,k-2) 的值，则称此方法为线性多步法. 一般的线性多步法公式可表示为 , 0 1 0 k i i n i k i n k i n i y y h f 其中 yn+i 为 y(xn+i) 的近似，fn+i = f(xn+i , yn+i ), xn+i = x0+ih αi , βi为常数, α0及 β0 不全为零，则称为线性 k 步法. 计算时需先给出前面 k个近似值y0 , y1 ,y2 , ... yk-1,再逐次求出 yk , yk+1 ,yk+2 ,