电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第二章 定解问题与偏微分方程理论（4/4）

敫理方程与特殊函致 第二章定解问题与偏微分方程理论（四） 主讲：杨春

第二章 定解问题与偏微分方程理论(四) 主讲：杨春

主要内容 一、二阶线性偏微分方程理论 二、δ函数

主要内容 一、二阶线性偏微分方程理论 二、 δ函数

一、二阶线性偏微分方程理论 介绍两个概念： 1.线性算子：T为算子，若T(cu+cu戶cTu,+c2Tu2,称T为线性算子。 如微分算子D,拉普拉斯算子△等都是线性算子。 2.二阶线性偏微分算子： 1- 注：含有个变量的二阶线性偏微分方程可以简记为： Lu=f

介绍两个概念： 1. 线性算子：T为算子，若T(c1u1+c2u2 )=c1Tu1+c2Tu2，称T为线性算子。 如微分算子D，拉普拉斯算子Δ等都是线性算子。 2. 二阶线性偏微分算子： 一、二阶线性偏微分方程理论 2 1 1 1 n n n ij i i i i i j i L a b c    x x x           注：含有n个变量的二阶线性偏微分方程可以简记为： Lu  f

(一)叠加原理 物理背景：在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因 素产生的效果总和。 如：力的叠加原理，振动叠加原理，电势叠加原理等。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。 叠加原理1 设u,满足线性方程（或线性定解条件）： L4=f,(i=1,2,…,n) u=会c4 →空4-立1

(一) 叠加原理 物理背景：在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因 素产生的效果总和。 如：力的叠加原理，振动叠加原理，电势叠加原理等。 物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。 叠加原理1 设ui满足线性方程(或线性定解条件)： ,( 1,2, , ) ， Lu f i n i i   1 n i i i u c u   1 1 n n i i i i i i L c u c f    

应用理解： 如果我们要求线性方程 Lu=f的解，而f=Cf+c2f方+…+cnfn 且Lu=f,(i=1,2,…,n) 的解为山，那么：u=之c4一定是Lu=f 的解。 叠加原理2 设u满足线性方程（或线性定解条件）： L4,=fi=1,2,)。若∑c4收敛， 且算子孔能够与求和号交换次序，那么：L三c4=之c。 注：应用上类似于叠加原理1

应用理解： 如果我们要求线性方程 的解，而 且 的解为ui，那么： 一定是 1 n i i i u c u   Lu f  1 1 2 2 n n f c f c f c f     ,( 1,2, , ) Lu f i n   i Lu f  的解。 叠加原理2 设ui满足线性方程(或线性定解条件)： Lu f i i i   ( 1,2, ) 。若 收敛 ， 1 i i i c u    且算子L能够与求和号交换次序，那么： 。 1 1 i i i i i i L c u c f       注：应用上类似于叠加原理1