电子科技大学：《数值分析 Numerical Analysis》课程教学资源（课件讲稿）向量和矩阵范数

3-3向量和矩阵范数 向量范数与矩阵范数 矩阵的条件数概念 Hilbert矩阵的条件数 1/19

1/19 向量范数与矩阵范数 矩阵的条件数概念 Hilbert矩阵的条件数 3-3 向量和矩阵范数

一 向量的范数 定义1设Rn是n维向量空间，如果对任意x∈Rn,都有 一个实数与之对应，且满足如下三个条件： (1)正定性：x20,且x=0 <=> x=0; 2)齐次性：2x=x 入为任意实数 ③)三角不等式：x+≤x+y (y eRn) 则称x为向量x的范数 注：向量范数是向量长度概念的推广.例如 ∑x号=Vx+x2++x 是向量x的范数。 2/19

2/19 定义1 设 Rn是n维向量空间,如果对任意x∈Rn ,都有 一个实数与之对应,且满足如下三个条件: (1)正定性: ||x||≥0,且||x||=0 <=> x = 0 ; (2)齐次性: x   x λ为任意实数 (3)三角不等式: ( y ∈Rn x  y  x  y ) 则称||x||为向量x的范数 . 注: 向量范数是向量长度概念的推广.例如 2 2 2 2 1 1 2 n n i  xi  x  x   x   是向量 x 的范数。 一、向量的范数

例1.设x=(1,x2,,xm)T∈Rn,则 )lx=∑1x,l 1-范数 i=1 2)Ix2=∑1x,P) 12-范数 (③)lx=|x,l 无穷范数 1<i<n 3/19

3/19 1 (3) i i n || x || max | x |     2 1 2 2 1 (2) ( ) n / i i || x || | x |    2 范数 无穷范数 1 1 (1) n i i || x || | x |    1范数 例1. 设 x=(x1 , x2 , ····, xn )T∈Rn，则

例2.证明x2是R上的一种范数 先证明柯西不等式：|xy上xh‖J2 对任意实数2，有（化-y)Tx-y)≥0→ 判别式 xx-22xy+23y乃y≥0 |xy12-(cx)0y乃y)≤0 今|xy≤xl2J2 4/19

4/19 例2. 证明 ||x||2 是 Rn 上的一种范数 先证明柯西不等式: | x Ty |≤ ||x||2·|| y||2 对任意实数λ, 有(x - λy)T(x - λy)≥0  x Tx – 2λx Ty + λ 2y Ty ≥0 | xTy |2 – (xTx)(y Ty) ≤0  | x Ty |≤ ||x||2·|| y||2 判别式

x+=(x+y)(x+y) =x"x+x"y+y"x+y"y ≤x+21xy+y ≤x+2川x2y2+y3 ‖x+y2≤x2+‖Jy2 (三角不等式成立) 1xh=Vx2+x,2++xn2≥0 (正定性成立) Ix-2=空21 (齐次性成立) 5/19

5/19 || || ( ) ( ) 2 2 x y x y x y T     x x x y y x y y T T T T     2 2 2 2 || x || 2 | x y | || y || T    2 2 2 2 2 2 || x || 2 || x || || y ||  || y || 2 2 2 || x  y || || x ||  || y || (三角不等式成立) || || 0 2 2 2 2 x 2 x1  x  xn  2 1 2 1 2 2 || x || ( x ) | | x | | || x || n i i n i i             (正定性成立) (齐次性成立)