收敛性分析初步 向量序列的收敛性 迭代法的收敛性分析 迭代误差估计定理 平面温度场计算
1 向量序列的收敛性 迭代法的收敛性分析 迭代误差估计定理 平面温度场计算
平面点列： [网 lim 二 my0-g+-=0 X∈Rn:X),X2),…,X因，… lim X()=X*←→ liml(-"ll2=0 k→00 k→0 利用向量范数等价性，对任意范数‖·川 limX)=X*←〉 k→∞ m‖X-X=0 2
2 平面点列: ( ) * 1 1 ( ) * 2 2 lim k k k x x x x lim ( ) ( ) 0 * 2 2 ( ) 2 * 2 1 ( ) 1 x x x x k k k X (k)∈Rn : X(1), X (2), ···, X (k) , ······· ( ) * lim X X k k lim || ||2 0 ( ) * X X k k ( ) * lim X X k k lim || || 0 ( ) * X X k k 利用向量范数等价性, 对任意范数 || · || (1) 2 (1) 1 x x (2) 2 (2) 1 x x ( ) 2 ( ) 1 k k x x ······ ······
AX=b(M-NX=bMX=NX+b 计算格式：X+I)=BX+f(B=M1N) 设方程组的精确解为X*,则有 X*=BX*+f X+)-X*=BX内-X*) 记8因=X-X*(k=0,1,2,3,·) 则有 E(k+1)=B e(k) k=B6k-1)（k=1,2,3, … 3
3 A X = b (M–N )X = b M X = N X + b 记 (k) = X(k) – X* ( k = 0, 1, 2, 3, ······ ) 则有 (k+1) = B (k) (k) = B (k-1) ( k = 1, 2, 3, ······ ) 计算格式: X(k+1) = B X(k) + f ( B = M-1N ) X(k+1) – X*= B(X(k) – X*) 设方程组的精确解为 X* ,则有 X* = B X* + f
E(k)=B &(k-1)=B2 &(k-2)=...=Bk (0) (1) limε=0 → lim B*0 k→00 k-→∞ j-- (2) m8)=0=B‖<1 lim[X(-"]=0 k-→00 lim X()=X k-→00 迭代格式Xk+1)=BX+f收敛 4
4 lim 0 lim 0 ( ) k k k B k (1) (k) = B (k-1)=B2 (k-2)=···=Bk (0) lim [ ] 0 ( ) * X X k k ( ) * lim X X k k 迭代格式 X(k+1) = B X(k) + f 收敛 (2) lim 0 ( k ) k B 1 k k k k k k k k 1 1 1
命题若引B<1,则迭代法X+)=BX+f收敛 证：由8k)=Bk-1),得 lεkl≤Bεk-lW (k=1,2,3,…) →‖ε川≤‖Bk‖εol IBl<1→ msm‖B1s片0 所以 lim a()0 5
5 : 由 (k) = B (k-1),得 || (k)|| ≤ || B|| || (k-1)|| ( k = 1, 2, 3, ······ ) lim 0 ( ) k k 所以 命题 若||B||<1,则迭代法 X(k+1) =B X(k) +f 收敛 || (k)|| ≤ || B||k || (0)|| lim || || lim || || || || 0 ( ) (0) k k k k || B|| < 1 B