数理方程与特殊函激 第三章分离变量法（一） 主讲：杨春
第三章 分离变量法(一) 主讲：杨春
分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型方法之一。主要包括各类 典型方程的边值与混合问题。要求熟练掌握。 定解问题的类型： 1、初值问题（柯西问题）：无边界条件的定解问题。 2、边值问题：无初值条件的定解问题。 3、混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 本章围绕定解问题分离变量求解方法，介绍如下内容： 1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解 2、高维定解问题分离变量求解 3、非齐次（方程与边界条件非齐次）定解问题求解， 学时：8学时
本章围绕定解问题分离变量求解方法，介绍如下内容： 分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型方法之一。主要包括各类 典型方程的边值与混合问题。要求熟练掌握。 定解问题的类型： 1、初值问题 (柯西问题)：无边界条件的定解问题。 2、边值问题：无初值条件的定解问题。 3、混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。 1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解 2、高维定解问题分离变量求解 3、非齐次(方程与边界条件非齐次)定解问题求解. 学时：8学时
主要内容 一、波动方程定解问题的分离变量求解 二、级数解的物理意义 三、热传导方程定解问题的分离变量求解
主要内容 一、波动方程定解问题的分离变量求解 三、热传导方程定解问题的分离变量求解 二、级数解的物理意义
一、波动方程定解问题的分离变量求解 大量的偏微分方程定解问题可以通过所谓的“分离变量”方法求解。 “分离变量”方法是数理方程求解的典型方法之一。也是人们发现的第一个数理方 程的求解方法。 “分离变量”方法的发现是众多数学家集体努力的结果：参与其中的主要人物有： 伯努力，达朗贝尔，欧拉，拉格朗日，傅里叶。其中，伯努利所起作用最大！是他 敏锐发现了弦振动解的可能形式。傅里叶是“分离变量方法”得以最终实现的伟大 功臣（因为他发现了周期函数的傅里叶级数展开）。 例题1求如下定解问题。 w=a2.,(0<x<L,t>0)…(I) 4xo=0,4x-L=0(2) 4-o=p(x),4,o=y(x…(3)
大量的偏微分方程定解问题可以通过所谓的“分离变量”方法求解。 2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x 例题1 求如下定解问题。 “分离变量”方法是数理方程求解的典型方法之一。也是人们发现的第一个数理方 程的求解方法。 “分离变量”方法的发现是众多数学家集体努力的结果：参与其中的主要人物有： 伯努力，达朗贝尔，欧拉，拉格朗日，傅里叶。其中，伯努利所起作用最大！是他 敏锐发现了弦振动解的可能形式。傅里叶是“分离变量方法”得以最终实现的伟大 功臣(因为他发现了周期函数的傅里叶级数展开)。 一、波动方程定解问题的分离变量求解
我们通过所谓的“分离变量”方法求解。它把未知函数分解为一元函数乘积！ 解：（①分离变量 (x,t)=T(t)X(x)…(4) 4=a2u,(0<x<L,t>0)…( 把(4)代入(1)与(2)整理得： 4x-0=0,4叫x=L=0…(2) T”_X…(5 4=o=p(x),4,=o=w(x)…(3) a'T X X(0)=0,X(L)=0…(6) 注意：幸好(2)中两个边界条件都是齐火的，否则，不能够得到(6)的两个简单等式。 欲使（⑤成立，等式两端必须为常数。于是，令： T"X" =-九…(7) aT X
我们通过所谓的“分离变量”方法求解。它把未知函数分解为一元函数乘积！ 2 0 0 0 , 0 , 0 (1) 0, 0 (2) , (3) tt xx x x L t t t u a u x L t u u u x u x 解： (1) 分离变量 u x t T t X x ( , ) ( ) ( ) (4) 把(4)代入(1)与(2)整理得： 2 (5) (0) 0, ( ) 0 (6) T X a T X X X L 注意：幸好(2)中两个边界条件都是齐次的，否则，不能够得到(6)的两个简单等式。 欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令： 2 (7) T X a T X