迭代法初步 Jacob i迭代法 Seidel迭代法 迭代法的矩阵表示 1/15
1/15 Jacobi迭代法 Seidel迭代法 迭代法的矩阵表示
迭代法的基本概念 设方程组A比=有唯一解x*,将Ax=f变形为等价 的方程组 x=Bx+f 由此建立迭代公式 xk+0=Bx)+f(k=0,1,2,…） 给定初始向量x,按此公式计算的近似解向量序列 {x},称此方法为迭代法 若Iimx)=x,显然有x*=Bx*+f k→00 则称迭代法是收敛的，否则称为发散的。迭代格式中 的矩阵B称为迭代矩阵。 2/15
2/15 显然有x* = B x* + f 则称迭代法是收敛的，否则称为发散的。迭代格式中 的矩阵B称为迭代矩阵。 ( ) * lim , k k x x 若 设方程组Ax = f有唯一解x* ，将Ax = f 变形为等价 的方程组 x = B x + f 由此建立迭代公式 给定初始向量 ，按此公式计算的近似解向量序列 { }，称此方法为迭代法 ( 1) ( ) ( 0,1, 2, ) k k x Bx f k (0) x (k ) x 迭代法的基本概念
例4.1 9x1-x2-x3=7 -x1+10x2-x3=8 特点：系数矩阵主 对角元均不为零 -x1-x2+15x3=13 x1=(7+x2+x3)/9 0 x2=(8+x1+x3)/10 取X0) 0 x3=(13+x1+x2)/15 0 计算格式X)=BX0)+f 1/9 1/9 719 1/10 1/10 8/10 1/151/15 13/15 3/15
3/15 15 13 10 8 9 7 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 例4.1 特点:系数矩阵主 对角元均不为零 13 /15 8 /10 7 / 9 1/15 1/15 0 1/10 0 1/10 0 1/ 9 1/ 9 (0) 3 (0) 2 (0) 1 (1) 3 (1) 2 (1) 1 x x x x x x 计算格式 X(1)=B X(0) + f (13 )/ 15 (8 )/ 10 (7 )/ 9 3 1 2 2 1 3 1 2 3 x x x x x x x x x 取 X(0) = 0 0 0
计算格式：X+)=BX+f X0) X1) X2) X3) X4) 0 0.7778 0.9630 0.9929 0.9987 0 0.8000 0.9644 0.99350.9988 0 0.8667 0.9778 0.9952 0.9991 X 1.0000 准确解 1.0000 1.0000 4/15
4/15 X* 1.0000 1.0000 1.0000 X(0) 0 0 0 X(1) 0.7778 0.8000 0.8667 X(2) 0.9630 0.9644 0.9778 X(3) 0.9929 0.9935 0.9952 计算格式: X(k+1)=BX(k)+f 准确解 X(4) ······ 0.9987 0.9988 0.9991
雅可比迭代法 41ux1+412X2++41mxn=b1 2X1+022X2++2mXm=b2 ∑a,x,=b amx1+an2X2++amnxn bn =12m =4-之，9-4,1 i=i+1 (i=1,2,…n;k=1,2,…） 取初始向量X0=x,0x20)·xn7,迭代计算 5/15
5/15 n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 雅可比迭代法 (i = 1,2,…n; k=1,2,……) 取初始向量X(0)=[x1 (0) x2 (0) ··· xn (0)]T , 迭代计算 n j i k ij j i j k i ij j ii k i b a x a x a x 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ) [ ] 1 i n j ij j a x b 1 (i = 1,2,…,n)