函数逼近 一般多项式函数逼近 切比雪夫多项式 勒让德多项式 正交多项式的应用 1
1 一般多项式函数逼近 切比雪夫多项式 勒让德多项式 正交多项式的应用 函数逼近
一般多项式函数逼近 问题：求二次多项式P)=a+x+2x2使 ∫IP(x)-sin(Pdk=min 连续函数的最佳平方逼近. 已知fx)∈C0,1,求多项式 0.5 P(x)=ao+ax+ax2+......+anx n 使得 L=[IP(x)-f(x)'dx=min 令 L(a,4,,)=0x'-fx -ad-a+( 2
2 问题: 求二次多项式 P(x)= a0 + a1x + a2x2 使 [ ( ) sin( )] min 1 0 2 P x x dx 0 0.5 1 0 1 连续函数的最佳平方逼近. 已知 f(x)∈C[0, 1], 求多项式 P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + …… + an x n 使得 [ ( ) ( )] min 1 0 2 L P x f x dx 1 0 2 0 0 1 L(a ,a , ,a ) [ a x f (x)] dx n j j 令 n j n j j j n j j L aj x dx a x f x dx f x dx 0 1 0 2 1 0 1 0 2 0 [ ] 2 ( ) [ ( )] 一般多项式函数逼近
L=ad-2afxf(xde+fLf(d -g-h 令 aL 0 i记：=xfx) 1 1/2… 1/(+1) 1/2 1/3… 1/(n+2) a 1/(n+1) …… 1/(2n+1) a. 系数矩阵被称为Hilbert矩阵 3
3 1 0 0 1 0 2 a x dx 2 x f (x)dx a L k n j j k j k n n b b b a a a n n n n 1 0 1 0 1/( 1) 1/(2 1) 1/ 2 1/ 3 1/( 2) 1 1/ 2 1/( 1) 系数矩阵被称为Hilbert矩阵 0 ak L 令 1 0 b x f (x)dx k 记 k n j j j n j j L aj x dx a x f x dx f x dx 0 1 0 2 1 0 1 0 2 0 [ ] 2 ( ) [ ( )]
定义6.3设fx),gx)∈C[4,b],p(c)是区间[M,b]上的权函数，若等式 (f,g)=[p(x)f(x)g(x)dx=0 成立，则称fx),gx)在[4，b]上带权p(x)正交.当p(x)=1时，简称正交。 例1验证pc)=1,φ1心)=x在[-1,1上正交，并求二次多项式 p2(x)使之与p(x),p1)正交 解： ∫p(x)p,(x=∫1xk=0 4
4 定义6.3 设 f(x), g(x)∈C[a, b], ρ(x)是区间[a,b]上的权函数,若等式 ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 b a f g x f x g x dx 成立,则称f(x), g(x)在[a, b]上带权ρ(x)正交. 当ρ(x)=1时,简称正交。 例1 验证 0(x)=1, 1(x)=x 在[ –1, 1]上正交, 并求二次多项式 2(x) 使之与0(x), 1(x)正交 ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 0 1 解: x x dx xdx
设p2x)=x2+421X+22 ∫1·g,(ec=0∫，xp,(x)k=0 ∫，(x2+ax+az)c=0∫x(x2+ax+a2)dc=0 2/3+222=0 422=-1/3 221/3=0 42=0 所以， 0,()=x2- 3 5
5 设 2(x) = x2 + a21x + a22 1 ( ) 0 1 1 2 x dx ( ) 0 1 1 2 x x dx 3 1 ( ) 2 所以 2 x x , ( ) 0 1 1 21 22 2 x a x a dx ( ) 0 1 1 21 22 2 x x a x a dx a22= - 1/3 a21=0 2/3+2a22 = 0 2a21 /3=0