电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第二章 定解问题与偏微分方程理论（3/4）

敫理方程与特殊函致 第二章定解问题与偏微分方程理论（三） 主讲：杨春

第二章 定解问题与偏微分方程理论(三) 主讲：杨春

主要内容 一、方程化简 二、化简方法总结

主要内容 一、方程化简 二、化简方法总结

今天学习带有两个变量的二阶线性偏微分方程化简与通解问题。 一、方程化简 对象：含两个变元的二阶线性偏微分方程。 一般形式：a14x+2a12y+a224y+b,4x+b2,+cu=f a1,a12,22,b1,b2,C,f是关于x,y的函数： =0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。 引入二阶线性偏微分算子： o2 o2 L=d ax? 2av2Ox -+ 0+b 则上面一般形式方程可简记为：L=f

今天学习带有两个变量的二阶线性偏微分方程化简与通解问题。 对象 ：含两个变元的二阶线性偏微分方程。 一般形式： a11, a12, a22, b1 , b2 , c, f是关于x, y的函数； f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程为非齐次方程。 一、方程化简 a u a u a u b u b u cu f 1 1 xx  2 1 2 xy  2 2 yy  1 x  2 y   引入 二阶线性偏微分算子： 则上面一般形式方程可简记为： 。 c y b x b y a x y a x L a                  2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 Lu  f

化简方法讨论 总的思路是：通过恰当实可逆变换： J5=0(x,y) 7=p2(x,y) 将方程化为如下形式： a,4s+2a,4n+a,4n+b4,+6,,+cu=f 保证变换后的二阶偏导数项系数至少一项为零。 具体分析过程 引入实可逆变换： 5=p(x,y) 7=(x,y) →a4s+2a,4n+a,4,+64+4，+u=f

化简方法讨论 总的思路是：通过恰当实可逆变换： 将方程化为如下形式： 保证变换后的二阶偏导数项系数至少一项为零。 具体分析过程     1 2 , , x y x y           11 12 22 1 2 1 a u a u a u bu b u c u f 2            引入实可逆变换：     1 2 , , x y x y           11 12 22 1 2 1 a u a u a u bu b u c u f 2           

那么可以得到： a-eaele 其中： Q- b=Lg-c,b =Ln-cn.c=c,J=f 注：推导过程简单，但繁琐，在此略去。 a1=a15x2+2a255,+a25, 注意到等式： a2=a1x2+2a21,,+a2, a2=a5n.+a2(5,+5,n.）+a225,1

那么可以得到： 其中： 注：推导过程简单，但繁琐，在此略去。 注意到等式： 11 12 11 12 12 22 12 22 T a a a a Q Q a a a a              x y x y Q            1 2 b L c b L c c c f f           , , ,   2 2 11 11 12 22 2 2 22 11 12 22 12 11 12 22 2 2 x x y y x x y y x x x y y x y y a a a a a a a a a a a a                                 