因为系数行列式 1 2 3 2 3 1 =18≠0 3 1 2 由Gramer法则知，方程组有惟一解，可以求出2，=1，入2=1， 23=-1.于是B可由必，2，线性表示，且表达式为 B=1+2-3 一般地，B与&1,42，L,的关系必为下列情形之一： (I)B可由，a2,L,an线性表示，且表达式惟一； (2)B可由a,a2,L,an线性表示，表达式不惟一； (3)B不能由a1,a2,L,an线性表示
1 2 3 2 3 1 18 0 3 1 2 = 因为系数行列式 1 2 3 1 2 3 1, 1, 1. , , , Gramer = = = − 由 法则知，方程组有惟一解，可以求出 于是 可由 线性表示 且表达式为 = + − 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , : (1) , , , (2) , , , (3) , , , n n n n L L L L 一般地, 与 的关系必为下列情形之一 可由 线性表示，且表达式惟一； 可由 线性表示，表达式不惟一； 不能由 线性表示
判断向量B可否由向量组1，C2,L,n线性表示的定理。 定理1： 向量B可由向量组C1,2,L,n线性表示的 充分必要条件是： 以a1,2,L,Cn为系数列向量，以B为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 等价的线性方程组的表示： 011X1 412x2+L = L21X1 + L22X2 +L a2nXn = b2 LL L L L L L + 0m2X2 +L 十 02 a B
定理1: 判断向量 可否由向量组 1 2 , , , L n 线性表示的定理。 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 1 2 , , , L n 以 1 2 , , , L n 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 等价的线性方程组的表示： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = L L L L L L L L L L L L ( ( 1 ( ( ( ( ( ( 2 n
2.线性相关，线性无关 定义2： 给定向量组A:1,2,L,C&m, 如果存在不全为零实数k,k2,L,km,使 k a+kzaz+L +kam=O 称向量组A线性相关. 如果当且仅当k=k,=L=km=0,才使上式成立， 则称向量组A线性相关 如01=(1,0)，02=(2,0).考虑k101+k202=0, 合0+[6=0分16+2x6=u → k1=-2k2·.k,k,有非零解，∴.01,0，线性相关
2. 线性相关, 线性无关 1 2 1 2 1 1 2 2 : , , , , , , , , . m m m m A k k k k k k O A + + + = L L L 给定向量组 如果存在不全为零实数 使 称向量组 线性相关 定义2： 1 2 = = = =0, . m k k k A 如果当且仅当 L 才使上式成立， 则称向量组 线性相关 如 = 1 2 =(1,0), (2,0). 1 1 2 2 考虑k k O + = . 1 2 1 2 0 . 0 0 0 k k + = 1 2 1 2 0. + = k k 1 2 k k = −2 . 1 2 k k, 有非零解， 1 2 , 线性相关
1 0 0 0 1 例2讨论n维单位向量组6，= 0 62= 线性相关性。 0 解设个数k1,k2,.,kn使ke,+k2E2+.+knEn=0,即 1 0 0 1 0 0 00 +k2 +.+kn → 0 →k1=k2=.=kn=0.61,62.,8,n线性无关
1 2 , , , 解 设n k k k 个数 n使 1 1 2 2 , n n k k k O + + + = 即 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 n k k k + + + = 1 2 0 0 n 0 k k k = 1 2 = = = 0. n = k k k 1 2 , , n ， 线性无关。 1 2 1 0 0 0 1 0 2 = = = 0 0 1 n n 例 讨论 维单位向量组 ， ， ， 线性相关性
由定义得到如下结论： (①)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是=O. k,a=O→a=O. 米 0
由定义得到如下结论： (1) 只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是 = O. 1 k O = 0 = O