线性代数 山东理工大学
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第1章n阶行列式 §1.3n阶行列式的计算 利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质来计 算行列式，所涉及的方法主要有： 1、降阶法；2、化为三角行列式；3、拆行拆列法： 4、加边法；5、递推法；6、数学归纳法
§1.3 n阶行列式的计算 第1章 n阶行列式 利用行列式按行(列)展开的定理和行列式的性质来计 算行列式，所涉及的方法主要有： 1、降阶法；2、化为三角行列式；3、拆行拆列法； 4、加边法；5、递推法；6、数学归纳法
1、降阶法 通过第二节性质5将行列式展成某一行（列）只保存一个非零 元素，然后利用第二节定理推论，降阶计算行列式的值， 这是计算行列式常用的方法之一. 2 -1 3 2) 3 -1 2 例1计算行列式D= -1 1 1 0 0 1 -2 1 解： 1 2-1 U 12 -1 n-2n 0 -1 1 -4 3+斯0 -1 1 -4 D -1 1 0 0 3 0 3 0 1 -2 1 0 1 -2 1
例1 计算行列式 . 0 1 2 1 1 1 1 0 2 3 1 2 1 2 1 3 − − − − D = 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 4 1 2 1 3 2 1 2 − − − − − = r − r D 解: 0 1 2 1 0 3 0 3 0 1 1 4 1 2 1 3 3 1 − − − − = r +r 1、降阶法 通过第二节性质5将行列式展成某一行（列）只保存一个非零 元素，然后利用第二节定理1推论，降阶计算行列式的值， 这是计算行列式常用的方法之一
-4 -1 1 -3 1 -3 3 0 3 =18. 1-2 1-2 -20 0 例2计算行列式 b a a+b a+b+c a+b+c+d D 0 a+b a+b+c 0 0 a+b 解 a b d aa+b a+b+c 2-0 -6 a+b+c D =aa a+b a+b+c =0 0 a+b a+b+c 0 a+b 0 a+b
a a b a a b a b c a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + = 0 0 0 例2 计算行列式 a a b a a b a b c a a b a b c a b c d D r r + + + + + + + = − 0 0 0 2 1 0 解 = 0. 0 a a b a b c a a a b a b c a a b + + + = + + + + 1 2 1 3 0 3 1 1 4 − − − = 1 2 0 3 0 0 1 1 3 3 1 − − − = c −c 18. 2 0 1 3 3 = − − = −
2、化为三角行列式 利用行列式的性质将行列式主对角线下方的元素全化 为零，即化为上三角行列式，行列式的值为主对角线 上元素的连乘积。 4.13-1 -2 ≥6 5 3 例3计算行列式D= 12 0 3 5 2 解： 1 2 -1 0 1 2 -1 0 ←→3 -2 -6 5 3 3-4斯 2+2 D 0 -2 3 3 4 1 3 = 4-35 0 -7 7 -1 3 5 2 4 0 -1 5 4
. 3 5 2 4 1 2 1 0 2 6 5 3 4 1 3 1 − − − − 例3 计算行列式 D = 3 5 2 4 4 1 3 1 2 6 5 3 1 2 1 0 1 3 − − − − = − r r D 解: 0 1 5 4 0 7 7 1 0 2 3 3 1 2 1 0 2 1 3 1 4 1 2 4 3 − − − − − = − + − − r r r r r r 2、化为三角行列式 利用行列式的性质将行列式主对角线下方的元素全化 为零，即化为上三角行列式，行列式的值为主对角线 上元素的连乘积