《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-4 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 第四节 实对称矩阵的相松对角形

第五章 相似矩阵与二次型 第四节 实对称矩阵的相似对角形

第五章相似矩阵与二次型 一、 实对称矩阵的性质 引理1 实对称矩阵的特征值为实数 引理2实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章 相似矩阵与二次型 引理1 实对称矩阵的特征值为实数. 一、实对称矩阵的性质 引理2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的

第五章相似矩阵与二次型 证明 设P1,P,是对称矩阵A的不同的两个特征值 2,元，的特征向量，即Ap1=入1P1,Ap2=入2P2 .A=A', .()=(Ap)=pA=pA, 于是P1P2=P1Ap2=p1'(22P2)=2P1P2, →(2-2p1P2=0. 元1≠元2，.p1p2=0.即p与p2正交

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , , , p p A   设 是对称矩阵 的不同的两个特征值 的特征向量 即 证明 1 1 1 2 2 2 Ap p Ap p = =   , ， A A =  , 1 1 1 1 1   p p Ap ( ) ( )   = =  1 1 p A p A,   = =  于是 1 1 2 1 2 1 2 2   p p p Ap p p ( )    = = 2 1 2  p p , =  1 2 1 2  − = ( ) 0.   p p  , 1  2 .  = p p 1 2  0. 即p1与p2正交

第五章相似矩阵与二次型 引理5.4.3设A为阶对称矩阵，2是A的特征方程的 r重根，则矩阵A-入E的秩为-r,从而对应特征值入 恰有个线性无关的特征向量， 定理5.4.1设A为阶实对称矩阵，则有正交矩阵P 使PAP=△，其中A是以A的个特征值为对角元 素的对角矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 1 5.4.1 , , , . A n P P AP A n − =   设 为 阶实对称矩阵 则有正交矩阵 使 其中 是以 的 个特征值为对角元 素的对 定 角矩阵 理 , , 5.4.3 , . A n A r A E n r r  − −   设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 重根 则矩阵 的秩为 从而对应特征值 恰有 个线性无关的特 引 征向量 理

第五章相似矩阵与二次型 二、实对称矩阵对角化的方法 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体 步骤为： 1.求A的特征值 2由(A-2,E)x=0,求出4的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化. 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体 步骤为： 3.将特征向量正交化; 4.将特征向量单位化. 2. ( ) 0, ; 由 A E x A − = i 求出 的特征向量 二、实对称矩阵对角化的方法 5.以特征向量为列向量写出正交矩阵. 1.求A的特征值