《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第二章 矩阵与向量_2-4 矩阵的秩

线性代数 山东理工大学

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第2章矩阵与向量 §2.4矩阵的秩 ·行秩、列秩、矩阵的秩 ·用初等变换求矩阵的秩 ·向量组的秩、最大无关组的求法

§2.4 矩阵的秩 第2章 矩阵与向量 ● 行秩、列秩、矩阵的秩 ● 用初等变换求矩阵的秩 ● 向量组的秩、最大无关组的求法

1.行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向 量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由 这些列向量组成。 定义矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩； 2.4.1: 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 1 3 01=(1,1,3,1) 0 2 -1 x2=(0,2,-1,4) 例如：矩阵A= 的行向量组是 0 0 0 ax3=(0,0,0,5) 0 0 0 a4=(0,0,0,0)

1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向 量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由 这些列向量组成。 矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A     − =         的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0)     = = − = = 定义 2.4.1 ：

可以证明，0x1,C2,03是A的行向量组的 a1=(1,1,3,1) 一个最大无关组。 a2=(0,2,-1,4) a3=(0,0,0,5) 因为，由k1C1+k2a2+k3a3=O a4=(0,0,0,0) 即k(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 可知k1=k2=k3=0,即c1,2,C3线性无关； 而4为零向量，包含零向量的向量组一定线性相关， ∴.Q1,02,C3,04线性相关。 所以向量组C1,02,C3,C4的秩为3，即矩阵A的行秩为3

可以证明， 1 2 3    , , 是A的行向量组的 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k O    + + = 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3    , , 线性无关； 而  4 为零向量，包含零向量的向量组一定线性相关， 1 2 3 4     , 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4     , 的秩为3，即矩阵A的行秩为3。 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0) = = − = =     一个最大无关组

矩阵A的列向量组是 3 1 B1= 0 ,2= 0 3= 0 ,B4= 45 0 0 0 0 可以验证B,B2,B4线性无关， 丽月R品+0a, 所以向量组B,B2,B3,B4的一个最大无关组是B,B2,B4 即向量组乃1，B2,B3,B4的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3

矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0                     − = = = =                                 可以验证 1 2 4    , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2     = − + 所以向量组 1 2 3 4     , 的一个最大无关组是 1 2 4    , , 即向量组 1 2 3 4     , 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3