《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-4 实对称矩阵的相似对角形

线性代数 山东理工大学

线性代数 山东理工大学

第5章相以矩阵和二次型 §5.4实对称矩阵的相似对角形

§5.4 实对称矩阵的相似对角形 第5章 相似矩阵和二次型

实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵P,使得P-AP=人 实对称矩阵一定可对角化 更可找到正交矩阵P,使得PAP=人 定理1：实对称矩阵的特征值为实数 证：设入是A的任一特征值， (要证入=入) x是对应于九的特征向量， X2 则Ax=九x,(x≠O)设x= M 用2表示九的共轭复数，x表示x的共轭复向量

实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 1 P AP − =  更可找到正交矩阵 ，使得 1 P AP − P =  定理1：实对称矩阵的特征值为实数. 证：设  是 A 的任一特征值，（要证   = ） x 是对应于  的特征向量， 则 Ax x x O =   , ( ) 设 1 2 n x x x x     =         M 用 表示  的共轭复数，x 表示 x 的共轭复向量。 实对称矩阵一定可对角化

则A=x=元x (1) 又QA是实对称矩阵，A=A且AT=A. .Ax=A.x=A.x (2) 由(1)2)有元·x=A·x,等号两边同时左乘xT 左边=x.(见x)=元x7.x 右边=x(A)=xT·A.x=(Ax)T.x =(Ax)".x=A.xT.x 元xr.x=x7.x 即（元-2）x.x=0

则 Ax x x = =    (1) 又 Q A 是实对称矩阵，  = A A 且 . T A A =  =   Ax A x A x = (2) 由(1)(2)有    x A x = , 等号两边同时左乘 T x 左边 ( ) T T =   =   x x x x   右边 ( ) ( ) ( ) T T T T T T x A x x A x Ax x   x x x x =   =   =  =  =   T T    =     x x x x 即 ( ) 0 T   −   = x x

考虑： x=(x,X2L ,x) X2 M =X1·灭1+2·2+L+Xn·m 元n =x2+x,+L+x2>0(Qx≠O) .元-2=0 .兄=2即九为实数

考虑: 1 2 1 2 ( , , , ) T n n x x x x x x x x     =         L M 1 1 2 2 n n =  +  + +  x x x x x x L 2 2 2 1 2 0 n = + + +  x x x L ( ) Q x O  − =   0  =   即  为实数