第五章相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形
第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形
第五章相似矩阵与二次型 三次型的理论起源于化三次曲线、三次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 +2bxy cy2 d (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度0，做旋转变换 x=x'cos0-y'sine, y=x'sin0+y'cose
第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 2 2 ax bxy cy d + + = − 2 (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换 cos sin , sin cos , x x y y x y = − = +
第五章相似矩阵与二次型 把方程5-9)化成标准方程 a'x"2+cy"=d (5-10) (⑤-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项我们把该问题推广到一般情况，从而建立 起二次型理论.该理论在数学和物理中都有广泛的应 用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是讨论 如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成 平方和的形式
第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 2 2 a x c y d + = − (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况,从而建立 起二次型理论.该理论在数学和物理中都有广泛的应 用,它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是讨论 如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化成 平方和的形式
第五章相似矩阵与二次型 、二次型的概念 1.定义5.5.1含有个变量x1,x2,.,x的二次齐次 多项式 f(K1,x2,xn)=a1x号+2a2x2++2a1nxx。 +22x号+.+22nX2xm 称为二次型. 当是复数时，f称为复二次型； 当是实数时，f称为实二次型
第五章 相似矩阵与二次型 ( ) 1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 , , , , , , 2 2 5 2 . 5. . 1 n n n n n n nn n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x = + + + + + + + + 1 . 含有 个变量 的二次齐次 多项式 称 定 为二次型 义 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念
第五章相似矩阵与二次型 例如x+xx2+3x1x3+2x2+4x23+3x号 x x+5x2+(3+i)xx+2xx 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2.设由y1,y2.,yn到变量x1,x2,x的线性变换 X1=C1Jy1+C12y2+.+C1myn’ X2=C21y1+C22J》2+.+C2mJyn, (5-12) Xn=cny+Cn22+.+Cmnyn
第五章 相似矩阵与二次型 例如 都为二次型；下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x + + + + + + + + + 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + − = + + + 2 .设由 到变量 的线性变换