《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第一章 n阶行列式_1.2 n阶行列式的性质

线性代数 山东理工大学

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第1章n阶行列式 §1.2n阶行列式的性质

§1.2 n阶行列式的性质 第1章 n阶行列式

定理1.2.1：阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式的乘积之和，即 D=u1A1+a2A2+L+mAn,(i=1,2,L,n), 或 D=41A+a2jA2j+L+0nA,(0=1,2,L,n): 这个定理也称为行列式展开定理。 推论：如果阶行列式中第行所有元素除外都为零，那 么行列式就等于a与其对应的代数余子式的乘积， 即 D=ajAi

定理1.2.1：n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其 对应的代数余子式的乘积之和，即 1 1 2 2 ,( 1,2, , ). D a A a A a A j n = + + + = j j j j nj nj L L 或 1 1 2 2 ,( 1,2, , ), D a A a A a A i n = + + + = i i i i in in L L . ijAij D = a 推论： ij a 如果n阶行列式中第i行所有元素除 外都为零，那 么行列式就等于 与其对应的代数余子式的乘积， 即 ij a 这个定理也称为行列式展开定理

行列式的性质 11 L12 L ain 设 D L21 L22 a2n M M M M an2 L D'(D)= 2M 称为D的转置行列式 M M M 02 L nn

行列式的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = L L M M M M L 设  = L L M M M M L 11 21 1 12 22 2 1 2 ( ) n T n n n nn a a a a a a D D a a a 称为D的转置行列式

性质1.2.1：行列式与它的转置行列式相等，即D=D。 证明：用数学归纳法。 当=2时， 11 21 结论成立。 L21 L22 12 L22 假设对n-1阶行列式结论成立，对于n阶行列式D和DT, 分别按第一行和第一列展开 421L42-14HL4n n-24,豆a,(e M M, an L ag-i L am

假设对n-1阶行列式结论成立，对于n阶行列式D和 ， 分别按第一行和第一列展开 T D 21 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) , j j n n n j j j j j j j n nj nj nn a a a a D a M a a a a a − + + + = = − + = − = −   L L M L M M L L 证明：用数学归纳法。 当n=2时， 11 12 11 21 ，结论成立。 21 22 12 22 a a a a a a a a = 性质1.2.1：行列式与它的转置行列式相等, 即 D D= T