《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-5 二次型及其标准型

线性代数 山东理工大学

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第5章相似矩阵和二次型 §5.5二次型及其标准型 ·二次型及其矩阵表示 ●化二次型为标准形

§5.5 二次型及其标准型 ● 二次型及其矩阵表示 ● 化二次型为标准形 第5章 相似矩阵和二次型

二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的方程 为标准形的问题。 方程的左边既有平 方项，又有交叉项 如二次曲线：x2+xy+y2=1. 选择适当的角度0作旋转变换： 2 2 x=x'cos0-y'sine 0- 2 y=x'sin0-y'cos0→ y= 正交矩阵 令：P= 2 2 2

二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的方程 为标准形的问题。 如二次曲线： 2 2 x xy y + + = 1. 选择适当的角度  作旋转变换： cos sin sin cos x x y y x y      = −    = −    4   =  2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y x y  = −       = −    令： ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 P     − =         x x P y y     =         正交矩阵 方程的左边既有平 方项，又有交叉项

称矩阵P为从x',y'到x,y的线性变换矩阵。 将此变换代入原二次曲线得： (Ξj〔源+学j 方程的左边 →层+ 只有平方项 问题：如何把一般的二次齐次多 8=45 0 项式经过可逆线性变换化成只含 -0.5 平方和的形式。 二次曲面：y+z+水=0. -15

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y                       − + − + + + =         称矩阵P为从 x y   , 到 x y, 的线性变换矩阵。 问题：如何把一般的二次齐次多 项式经过可逆线性变换化成只含 平方和的形式。 3 1 2 2 1. 2 2 x y   + = 方程的左边 只有平方项 将此变换代入原二次曲线得： 二次曲面： xy yz zx + + = 0

二次型及其矩阵表示 1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 定义1：含有n个变量x1,x2,L,xn的二次齐次多项式 f(x,x2,L,x) =a1x+2a2-xx2+2a13x53+L+21nx2 +a2x号+2a232-63+L+2nx2。 +L +0-2+2aw。 称为二次型。（1)

一 . 二次型及其矩阵表示 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 称为二次型。（1） 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x − − − − − = + + + + + + + + + + + L L L L 2 nn n + a x 定义1：含有 n 个变量 x x x 1 2 , , , L n 的二次齐次多项式