《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第四章 线性方程组_4-3 非齐次线性方程组

线性代数 山东理工大学

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第4章线性方程组 §4.3非齐次线性方程组

§4.3 非齐次线性方程组 第4章 线性方程组

设n元非齐次线性方程组为 011X1 十 L12X2 +L + AinXn = b 21X1 十 L22X2 +L A2nXn = (1) M M M MMM M M M m火1 +L 011 0%12 L 021 02 L 则称矩阵A= A2n 为方程组()的系数矩阵 M M M M Am L

设n元非齐次线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  L L M M M M M M M M M L 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =         L L M M M M L 为方程组(1)的系数矩阵

X= 马M b= M 则非齐次线性方程组(1)的矩阵形式 Ax=b (2) 当b=0(位=1,2，L,m)时，对应的齐次线性方程组 011X1+412X2+L+41mXn 0 21X1 az2x2+L aznxn M M M MMM M MM(3) 4mIX1 + 0m2X2 + L+ 0

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (3) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =    + + + =  L L M M M M M M M M M L 令 1 1 2 2 , . n m x b x b x b x b         = =                 M M 则非齐次线性方程组(1)的矩阵形式 Ax b = (2) 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = L 时, 对应的齐次线性方程组

则齐次线性方程组(3)与矩阵方程 Ax=0 (4) 等价。 1.有解的条件 定理3：非齐次线性方程组Ax=b有解 台R(A)=R(A) 并且，当R(A)=R(A=n时，有唯一解； 当R(A)=R(A<n时，有无穷多解

则齐次线性方程组(3)与矩阵方程 Ax O= (4) 等价。 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 Ax b = 有解  = R A R A ( ) ( ) 并且，当 R A R A n ( ) = = ( ) 时，有唯一解； 当 R A R A n ( ) =  ( ) 时，有无穷多解