《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-6 正定二次型

线性代数 山东理工大学

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第5章相似矩阵和二次型 §5.6正定二次型

§5.6 正定二次型 第5章 相似矩阵和二次型

在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位： 定义1：设f=xAx(AI=A)为实二次型，如果对任 意n维列向量x≠O,都有f=x'Ax>0,则 称f=xAx为正定二次型，并称实对称矩阵 A为正定矩阵； 对任意n维列向量x,f=x'Ax≥0，则称 f=x「Ax为半正定二次型，并称实对称矩阵 A为半正定矩阵。 如：f(x,K2,L,xn)=x+x+L+x是正定的 10L0 01L 0 .E= 是正定矩阵。 MMO M 00 L 1

定义1： ( ) T T 设 f x Ax A A = = 为实二次型，如果对任 意n维列向量 ，都有 ，则 称 为正定二次型，并称实对称矩阵 A为正定矩阵； x O 0 T f x Ax =  T f x Ax = 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n f x x x x x x L L = + + + 是正定的 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位： 0 T f x Ax =  T f x Ax = 对任意n维列向量 x， ，则称 为半正定二次型，并称实对称矩阵 A为半正定矩阵。 如: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E      =         是正定矩阵。 L L M M O M L

f(K,x2L,xn)=x+x2+L+x(r<n)是半正定的。 710L00L0 01L 00L 0 MM MM M .1n= 00L 10L 0是半正定矩阵。 00L 00L 0 MM MM M 0 0L00L0 定理1：实二次型f=x'Ax为正定的充分必要条件 是其标准型中n个系数全大于零。 推论1：实对称矩阵A为正定的充分必要条件A的特 征值全为正

定理1：实二次型 为正定的充分必要条件 是其标准型中n个系数全大于零。 T f x Ax = 推论1：实对称矩阵A为正定的充分必要条件A的特 征值全为正。 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( ) n r f x x x x x x r n L L = + + +  是半正定的。 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n I            =           是半正定矩阵。 L L L L M M M M M L L L L M M M M M L L

推论2：实二次型∫=x'Ax为正定的充分必要条件 是它的规范标准型为f=+y+L+y。 推论3：实对称矩阵A为正定矩阵→A>0。反之不对 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定 也是一种常用的方法，设A为阶对称矩阵，由A 的前k行k列元素构成的阶行列式 a11 412 L 2102z L 称为矩阵A=(a,) M M k=1,2,L,: M 的k阶顺序主子式 kk

2 2 2 1 2 n f y y y = + + + L 推论2：实二次型 为正定的充分必要条件 是它的规范标准型为 。 T f x Ax = 推论3：实对称矩阵A为正定矩阵   A 0 。 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定 也是一种常用的方法，设A为n阶对称矩阵，由A 的前k行k列元素构成的k阶行列式 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1,2, , . k k k k kk a a a a a a k n a a a = L L L M M M L 称为矩阵 的k阶顺序主子式 A a = ( ij) 反之不对