《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型_5-3 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 第三节 相松矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 第三节 相似矩阵

第五章相似矩阵与二次型 、 相似矩阵与相似变换的概念 定义5.3.1设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P, 使P1AP=B成立，则称B是A的相似矩阵，或说矩 阵A与B相似. 对A进行运算PAP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 1 , , , , , . 5.3.1 A B n P P AP B B A A B − = 设 都是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 成立 则称 是 的 或说矩 阵 与 相似矩阵 定 相似 义 一、相似矩阵与相似变换的概念 1 , . A P AP A P A B 对 进行运算 − 称为对 进行 可逆矩阵 称为把 变成 相似变换 的相似变换矩阵

第五章相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的性质 1.等价关系 ()自反性A与A本身相似； (2)对称性A与B相似，则B与A相似； 3)传递性A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章 相似矩阵与二次型 1. 等价关系 相似矩阵与相似变换的性质 (1)自反性 A与A本身相似； (2)对称性 A与B相似，则B与A相似； (3)传递性 A与B相似，B与C相似，则A与C相似

第五章相似矩阵与二次型 定理5.3.1若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项 式相同，从而A与B的特征值亦相同. 证明A与B相似→可逆阵P,使得PAP=B B-AE=P-AP-P-(E)P =P-(A-AE)P P-A-AE P =A-E. 注意：上述定理的逆命题不成立

第五章 相似矩阵与二次型 证明 1 A B P P AP B , 与 相似  = 可逆阵 使得 − B E P AP P (E)P −1 −1  − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . 5.3.1 , , . n A B A B A B 若 阶矩阵 与 相似 则 与 的特征多项 式相同 从而 与 的特征值 定 亦相同 理 注意：上述定理的逆命题不成立

第五章相似矩阵与二次型 推论1若n阶方阵与对角阵△= 2 相似，则2,22，2即是A的个特征值， 方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化. 推论2若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B)

第五章 相似矩阵与二次型 1 2 1 2 , 1 , , , . n n n A n            =         推 若 阶方阵与对角阵 相似 则 即是 的 个特征值 论 推论2 若n阶方阵A与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 方阵A与对角阵相似，我们称方阵A可对角化