题号 二 四 总分 得分 8、二次型f,5,5=2+3++25+2，是正定的，则：的取值范围 得分☐一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 得分☐三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分） 1、设A,B为n阶方阵，满足等式4B=0,则必有() +x11 )A=0或B=0:)4+B=0;(C)4=0或=0；(D)4+=0。 11-x11 2、A和B均为n阶矩库，且(A+B=2+2AB+B,则必有（) ()A=E(⑧)B=E:(C)A=B. ()AB=B4, 3、设4为m×n矩阵，齐次方程组杠=0仅有零解的充要条件是（ ()A的列向量线性无关； (⑧)A的列向量线性相关； (C)A的行向量线性无关： ()A的行向量线性相关， 4、n阶矩阵4为奇异矩阵的充要条件是() )A的秩小于： ()4≠0： ()A的特征值都等于零：)A的特征值都不等于零： 得分☐二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分） 5、若4阶矩阵A的行列式4=-5，r是A的伴随矩阵，则中一。 6、A为mxm阶矩阵，且4？-A-2E=0,则(4+2E= 10、计算n阶行列式 第1页共7页
第 1 页 共 7 页 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设 A，B 为 n 阶方阵，满足等式 AB 0，则必有（ ） (A) A 0或B 0 ; (B) A B 0； （C） A 0或 B 0 ; (D) A B 0。 2、 A和B 均为n阶矩阵，且 2 2 2 (A B) A 2AB B ，则必有（ ） (A) A E ； (B) B E ； （C） A B . (D) AB BA。 3、设 A为m n矩阵，齐次方程组 Ax 0仅有零解的充要条件是（ ） (A) A的列向量线性无关； (B) A的列向量线性相关； （C） A的行向量线性无关； (D) A的行向量线性相关. 4、 n阶矩阵 A为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A的秩小于n； (B) A 0； (C) A的特征值都等于零； (D) A的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分） 5、若 4 阶矩阵 A的行列式 A 5， A 是 A 的伴随矩阵，则 A = 。 6、 A为n n阶矩阵，且 2 A A 2E 0，则 1 (A 2E) 。 7、已知方程组 4 3 1 1 2 2 3 2 1 2 1 3 2 1 x x x a a 无解，则a 。 8、二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 f (x , x , x ) 2x 3x tx 2x x 2x x 是正定的，则t 的取值范围 是 。 三、计算题（本题共 2 小题，每题 8 分，满分 16 分） 9、计算行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x D y y 10、计算n阶行列式 得分 得分 得分
+3 11、若向量组a,a,a,线性相关，向量组a,a,a,线性无关。证明： D.= (1)a,能有a,a3钱性表出： (2）a,不能由a,a,a,线性表出。 12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A+E可逆，且 fA)=(E-A(E+4A)-。 证明 （1)(E+f(AE+A)=2E: (2)ff4)=A。 得分☐四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。 写出证明过程) 第2页共7页
第 2 页 共 7 页 1 2 1 2 1 2 3 3 3 n n n n x x x x x x D x x x 四、证明题（本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分。 写出证明过程） 11、若向量组 1 2 3 , , 线性相关，向量组 2 3 4 , , 线性无关。证明： (1) 1能有 2 3 , 线性表出； (2) 4不能由 1 2 3 , , 线性表出。 12 、 设 A 是 n 阶 矩 方 阵 ， E 是 n 阶 单 位 矩 阵 ， A E 可 逆 ， 且 1 f (A) (E A)(E A) 。 证明 （1） (E f (A))(E A) 2E ； （2） f ( f (A)) A。 得分
得分五、解答题（本愿共3小题，每小愿12分，满分32分。 解答应写出文字说明或演算步骤) (200 13、设A=032,求一个正交矩阵P使得P4P为对角矩阵。 023 工1+3+=0 14、已知方程组{x+2x:+m1=0与方程组x+2x+3=a-1有公共解。 +4:+a2x3=0 求a的值。 第3页共7或
第 3 页 共 7 页 五、解答题（本题共 3 小题，每小题 12 分，满分 32 分。 解答应写出文字说明或演算步骤） 13、设 2 0 0 0 3 2 0 2 3 A ，求一个正交矩阵P 使得 1 P AP 为对角矩阵。 14、已知方程组 4 0 2 0 0 3 2 1 2 1 2 3 1 2 3 x x a x x x ax x x x 与方程组 2 1 x1 x2 x3 a 有公共解。 求a的值。 得分
1 3 4 求该方程组的通解。 15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知m,2,是它 的三个解向量，且 第4页共7页
第 4 页 共 7 页 15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知1， 2，3是它 的三个解向量，且 5 4 3 2 1 ， 4 3 2 1 2 3 求该方程组的通解
解答和评分标准 一、选择恩 1、C: 2、Ds 3、A: 4、A. 10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子三+3小再通 二、填空题 过行列式的变换化为上三角形行列式 5、-125: 6、: 7、-1: 8心 三、计算题 (4分) 9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得： 12x。+3 x x 00 13x.x 11-x11 3 0 D= o 0 yy h111- 003 第二列减第一列，第四列减第三列得： (4分) 000 D= -x10 四、证明题 (4分) 00y0 101- 11、证明： 按第一行展开得 (1)、因为a:,a,a,线性无关，所以a,a线性无关。， 又aa,a,线性相关，故a能由a,a,线性表出。 (4分) ra1,马a)=3, 按第三列展开得 (2)、（反正法)若不，则a能由a,a,a,钱性表出， 不妨设a,=k,+ka,+k3· (4分) 由(1)知，g,能由1，a线性表出， 第5页共7页
第 5 页 共 7 页 解答和评分标准 一、选择题 1、C； 2、D； 3、A； 4、A。 二、填空题 5、-125; 6、 2 ； 7、-1； 8、 5 3 t 。 三、计算题 9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得： 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 x x x D y y y 第二列减第一列，第四列减第三列得： 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 x x D y y （4 分） 按第一行展开得 1 0 0 0 0 1 x D x y y 按第三列展开得 2 2 0 1 x D xy x y y 。 （4 分） 10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子 n i i x 1 3 ，再通 过行列式的变换化为上三角形行列式 2 2 1 2 1 1 3 3 1 3 n n n n i i n x x x x D x x x （4 分） 2 1 1 0 3 0 3 0 0 3 n n i i x x x 1 1 3 3 n n i i x （4 分） 四、证明题 11、证明： (1)、 因为 2 3 3 ， , 线性无关，所以 2 ， 3线性无关。， 又1 ， 2 ， 3线性相关，故1 能由 2 ， 3 线性表出。 (4 分) 1 2 3 r( ， ， ) 3 ， （2）、（反正法）若不，则 4能由 1 2 3 ， , 线性表出， 不妨设 4 11 2 2 3 3 k k k 。 由（1）知，1 能由 2 ， 3线性表出