第一章基础知识这一联络称为（E，h）的Chern联络设Tx是X上的全纯切丛，h=g一iw是其上的Hermite度量，利用实部映射.我们有典范同构Re：Tx→Tx.R：这样，Tx上有两种联络：(1)(Tx,R，9)的Levi-Civita联络VR；(2)(Tx,h)的Chern联络Vc.命题1.3.3以下条件等价：(1)h是Kahler度量;(2)对复结构 J有,VR(Jx)=JVRX,VXEA(Tx,R).(3)若将Tx与Tx,R通过典范同构Re等同起来，那么VR与Vc是一致的证明(3)→(2).对xETx.R，由典范同构Re知，i·x=Jx.又由Vc(ix)=iVcx及(3)的条件即得VR(JX)=JVRX.(2)→(1).由J的平坦性,g(u,u)=w(u,Ju)及VR的保度量性得d(w(X. )) =w(VRX,) +w(X, VRD),Vx,bETxR任取ETx代入上式则得(1-13)0(w(x, )) =w(Vx,) +w(x, Vs).另一方面，我们有恒等式dw(o,x,) =p(w(x,)) -x(w(b,)) +(w(,x))(1-14)-w([o, xl, ) + w(Φ, [x, wl) +w([o, l, x):将式(1-13)代入式(1-14)，并利用联络的无挠性即得dw(Φ,x,）=0.由Φ,x,的任意性可知dw=0(1）→(3).注意到在每一点上的联络矩阵系数只涉及到度量矩阵的一阶导数因此由引理-1.3.2，不失一般性，我们可考虑常度量情形.此时易知两种联络都是平凡联络，1.4格拉斯曼流形设W是复w维向量空间，我们考虑由W中所有K维复子空间构成的集合Grass(k,W)= (KCW|dimK=k),当k=1或w-1时，G=P(W)，即W的射影化我们将证明G=Grass(k，W)具有紧复流形结构，它被称作格拉斯受流形(Grassmannian)为此，我们需要一些准备工作考虑G=Grass(k,W）的子集Gv={zC W I znV= (0), dimz=k].设W=V④K是复子空间的直和分解，dimK=k，v：W→V及元k：W→K是投影映射：对任何ZEGv，限制映射六KIz：Z→K显然是同构．我们可定义C-线性映射-18-
第一章基础知识h:=VOkz7:K→V.并有以下交换图（i：Z→W是包含映射）K(1-15)引理1.4.1(1)设ZeGv,则Z=(1k+hz)(K)(2)存在双射Z→hz.ov.K : Gv -→ Hom(K, V),(3) G=[Z|元Z:Z→是同构)证明(1)由 hz的定义直接得到(2）v.K单射性来自于（1).下证满射性。设hEHom(K,V)：由以下交换图可以构造复合映射j:K→WKhxidV×K--W令Z=Imi即Z=(h(k)+klkK)由W=V④K可知j：K→Z是同构.容易验证，这样构造的Z满足交换图（1-15)，故ΦvK是满射，(3）只需证右边集合包含在Gv中，设ZCW满足πKz:Z→K是同构.假设zEZnV，-则元k(2)=0,从而z=0.这表明ZEGv推论1.4.1设W=V@K=V@K,则(1)v,(GvnGv)=[EHom(K,V) /Φ:=ko(1k): K-→K是同构)(2) v,K o() = Tvr o (1k +) oΦ-1, 对任何 E Φv,k(GvnGv).证明由引理1.4.1直接计算可得，我们留给读者验证.?命题1.4.1G=Grass(k,W)具有k(w-k)维紧复流形结构，这里w=dimW.证明对每个KEG,我们总是可以找到K的某个补子空间V,因而KEGv.这表明G被这样的Gv所覆盖。由引理1.4.1,Gv在双射v,K下配备了k(w－k)维欧氏空间拓扑（注意dimHom(K,V）=k(w-k)).易知，GvnGv仍是Gv中的开集，且由推论1.4.1可知坐标卡变换是全纯的，因而G是复流形.以下证明紧性.k=1时，G=P(W)已知是紧的，今对k施归纳法，考虑簇P := ((r, V) eP(W) xGle V).-19-
第一章基础知识首先，P可以视为P(W)上的丛，其纤维为Grass(k-1,W'）（这里dimW=w-1)：由归纳假设可知P是紧的.另一方面，P又可视为G上的射影丛，故由P的紧性推知G是紧的.-命题1.4.2（G=Grass(k，W）是射影流形，即存在Plicker嵌入映射Grass(k, W) →P(ΛW),z→^*z.(证明留给读者)G=Grass(hW）上有平凡向量丛，其纤维为W.我们可以构造它的全纯子丛S使得其在点KEG处纤维为子空间K(CW).取VEW作为K的补空间，考虑K的局部邻域Gv兰Homc(K,V).对任何ΦEGv,S在Φ的茎也就是 Im(1+Φ).设（i)1<i<k是K的一组基，我们可以在K的局部邻域内，将它们扩张为S的局部全纯截面(o)1<i≤k，使得(K）=0.当然这一扩张并不唯一。比如我们可以取,满足()=;+Φ(oi).设u是G在K处的切向量.若我们将,视为定义在G上，取值于W中的向量函数，则显然可以定义它关于u的导数u(o）.进一步，我们可以定义C-线性映射hu : K →W/K, hu(oi) =u(o) modK.引理1.4.2上述hu的定义不依赖于i与，的选取，证明月只需验证如下事实：设α是S的截面，满足α(K）=0.则uα）=0EW/K.在KEG的局部邻域上，不妨设α=Zfioi，这里fi是局部全纯函数，且在K处取零值.我们有u(o) =Eu(f)o;(K) =u(fi)oiE K.-这就证明了结论取VeW作为K的补空间，于是KEGv=Homc(K,V).G在K处的切空间可以视作Homc(K,V)在0处的切空间，即Homc(K,V).注意到V兰W/K，故Tc,K=Homc(K,W/K)命题1.4.3上述复合同构T,K = THomc(K,V),o =Homc(K, W/K)不依赖于V的选取，即将uETc.K映为huEHomc(K,W/K)证明将K的基o扩张为S的截面，满足(）=oi+()，VEGv.设u是Homc(K,V)在=0处的切向量.为方便起见，我们将它视为Homc(K,V)中的元素，并记作u.这就得到hu(α) = u(o) = u(o; +(αi))o=0 = u(oi) modK.因此命题中的同构u-hu相当于是由映射u-→u和i→oi复合得到，此处:V—W/K是自然同构-考虑递减数列dimW>bl>>bk>0.我们构造所谓的旗空间(Flagspace)F(Ww) = (wl,..., wk) e II Grass(bp, w)| wi c wi-1,1<i≤k1≤p≤k- 20-
第一章基础知识它是IIGrass(bP,W)的复子流形点FEF(W)通常可写为滤过形式<F:=(F"WC...CFW).进一步，Ff...6(W)也可以看成Fb..k-1(W）上的纤维丛，对每个点Fr...k- :- (Fk-W C... C FlW) e F...b--(W),其上的纤维恰好是Grass(bk-1,Fk-1W).利用这一关系，我们可以归纳计算旗空间的维数（留给读者讨论)推论1.4.2考虑Fs(W)在点F处的切空间Tr(W),FC④,Tc(b.W)F-W我们有(h1,., h) @Hom(F"W,W/F"W) I hijFi+w = hi+1 modFWTF-(W),F证明设(）是FlW的一组基。通过合适的选取，我们可以假设FPW的基恰好是(i)中的一部分．由前面的讨论，它们可以分别扩张为某个全纯子丛的截面（6），并且仍然保持以上假设（即对F附近的滤过F，FPW的基元素取自于F/W的基）.今取u为F（W)在F处的切向量，其像为(hi,.., h) e @Hom(F"W,W/F"W).由前面的讨论，hi(oi）=u(o）modF"W,Vo;EFiW.因而hi|i+iw=hi+imodFiW.这样就有TF (W),F (h1, **,h) E@Hom(F"W, W/F'W) I hilFi+w= hi+1 modFW直接计算以上两个空间的维数，即得所需结论。-G=Grass(k,W)上带有一个自然的秩k全纯向量丛S,即对任何△EG，△可看作G中的k维子空间，因而我们将它定义成S在△处的茎.这样的S称作tautological丛，我们已在前面讨论过射影空间P(W）上的tautological线丛，事实上，我们还可以证明P(W）的Picard群是由tautological线丛生成的循环群.例1.4.1假设X是代数簇，E是秩k复向量丛，H是ample除子：对充分大v，EEHV由整体截面生成.E的这些整体截面诱导了全纯映射@ : X → Grass(r,n),n = dim H'(X, E').若E是线从，该映射就是我们熟知的线性映射.例1.4.2设XcCN是n维光滑子流形，我们可以诱导Gauss映射G: XGrass(n, N), →Tx,r.考虑其切映射dG : Tx,Hom(Tx,a,CN /Tx,a),-→ dG(u)(u→dv)这里V是X上的向量场，在a处取u该定义只依赖于u，而与V的选取无关.令d(u,u）=dG(u)(u)，u,ETx,r可以证明这是对称双线性的，因而也可以写为Φ：S?Tx,→CN/Tx,r.它被称为第二基本形式(Secondfundamental form).将CN替换为RN也有同样的讨论.-1-21-
第一章基础知识1.5复形与谱序列设4是Abel范畴，A是4中的对象.A的滤过(Filtration)指一族子对象（FPA)构成的递减列A= FOA- FIA...- FP-1A- FPA...有时为方便起见，对p≤0,我们记FPA=A.一个复形M指一族对象（Mk）（kEZ)以及一族态射dh：Mk→Mk+1满足dk+ldh=0,MoMl...MkdMk+1有时我们也将该复形记作M=④Mk，通常情形下，我们主要考虑左边有界的复形，即Mi=0,对任何i<0.复形（M,dm）的第i个上同调（Cohomology）指对象H'(M) := Coker (di-l : Mi-1 - KerdM)例1.5.1考虑n维紧黎曼流形X上的C整体k次微分形式空间A(X),在微分算子d下，我们有复形A（X)0 →A(X) →A'(X) A"(X) 0.Hbr(X）：=Hi(A(X))称为第k个deRham上同调群(deRhamcohomology)．由经典de-Rham定理，Hr（X）兰H（X,R）（参见定理1.5.2及例1.5.7).今后我们不再区分两者复形态射Φ：（Mdm）→（N,d）是指一族态射：Mi→Ni，满足do=+1。dM它诱导了相应上同调群之间的态射H（）：Hi(M）→H(N).如果所有诱导态射H()均是同构，我们就称：是拟同构（Quasi-isomorphism)。例1.5.2在n维紧Kahler流形上，考虑全纯DeRham复形（2x，0)：0-0x22x2..20.设Cx是常层，它诱导的如下复形也记为Cx：0Cx0-→0这样，由包含关系CxOx诱导了复形之间的拟同构Cx→（2x，)■对复形的短正合列0AB→C0都可诱导上同调群的长正合列..H'(A) H(B) →H(C) H+I(A) -例1.5.3设X是紧黎曼流形，U是X中的开集.我们用Csing(X)表示X上的奇异上链复形；类似地可定义Csing(U).我们定义相对奇异上链复形Csing(X,U) = Ker(Csing(X) → Csing(U),- 22-