代数几何讨论班备用稿 代数几何中的拓扑 课题选讲 华东师范大学数学系 2012
目录目录第一章1群的预备知识1.1群的融合积与半直积，11.23群的实现与置换群61.3Hurwitz变换与自由群Fn本章习题8第二章9辫群的基础知识2.1带孔圆盘的基本群92.2辫群的定义102.3辩群的标架，112.4辫群的典范嵌入132.5运动诱导的辩152.6辩群的实现..162.7正辩与Dehn扭转17本章习题1921第三章辫单值的基础知识3.1辩辫单值的定义213.2射影曲线的辩单值，233.3实线排列的辩单值，243.4一般线排列的辩单值。29本章习题30第四章.32Zariski Van-Kampen定理4.1Van-Kampen定理324.2局部平凡纤维空间324.3补空间的基本群。334.4ZariskiVan-Kampen定理364.5曲线奇点的单值和基本群..374.6平面曲线的基本群38本章习题40第五章曲面的一般覆盖415.1-些经典的射影簇415.2 一般投影映射，435.3尖点曲线475.4p3中的曲面投影495.5Chisini猜想515.6一般覆盖的拓扑575.7Veronese曲面的一般覆盖57本章习题58-ii -
目录第六章弱Lefschetz定理..596.1代数簇的基本群59...........................+......+.6.2一般超平面截口。60一6.3态射的形变.··63.+.6.4弱Lefschetz定理64本章习题.64参考文献65-ili-
第一章群的预备知识第一章群的预备知识1.1群的融合积与半直积设A,Gi,G2是群，fi：A→G（i=1,2）是群同态命题1.1.1在同构意义下，存在唯一的群G及群同态9：Gi一→G（i=1,2）满足以下各条件：(1) 91 0 f1 = 92 0 f2,(2)对任何群H以及群同态hi:G;一H，如果hiofi=h2of2,则存在同态h:G→H使得hi=hogi(i=1,2)G1f2FG2这样的(G,91,92）称为fi：A→G与f2：A→G2的融合积（Amalgam)，记作Gi*AG2证明我们这里只说明G的构造，其余性质的验证留给读者我们将G1.G2中的元素构成的单词全体记作W := [(ai,...,at) | ai E Gi 或 G2].W上有自然的乘法(ai,....a)-(bi,.,bm):= (ai,..,at,bi,-.,bm)我们定义W上的一种关系：对w,weW，w>w当且仅当以下条件之一成立：(1）w中的某相邻两项ai,ai+1同属于Gi（或G2)，w恰好是将w中的这两个元替换成一个元aiai+1而得到的单词(2)w中有一项是G1或G2中单位元，w恰好是将w中的这一项去除得到的单词。(3)w中的某一项可写成fi(a）（aEA)，w恰好是将w中这一项替换成fi-i(a)得到的单词利用上述关系，我们可以进一步诱导出W的等价关系～：w～w当且仅当存在序列wo,1,-，wN，使得wo=w，wN=w，并且对任何相邻项w;和w1，要么w>wi+1，要么w^wi+1，要么wi=Wi+1容易验证，W的乘法运算与等价关系～是相容的，因此我们可构造群G=W/～.这就是我■们想要的融合积，例1.1.1A=[1)时,Gi *AG2就是G1,G2的自由积(Freeproduct),简记作Gi*G2.特-别地，我们规定自由群（Freegroup）Fn=Z*··*ZN-1-
第一章群的预备知识例1.1.2设H是群，N1,N2是H的正规子群，N是包含N1,N2的最小正规子群。取■A=H,G=H/N，fi：A→G是自然同态（i=1,2)，则Gi*AG2=H/N假设群H右作用在群N上，记作nμnh(nEN,heH).（请注意这里的群作用要求是群同态）我们定义N×H上的乘积运算(n1,h1)(n2, h2) = (n1 - n(hi"), hih2),命题1.1.22上述运算定义了N×H上的群结构，称之为N和H的半直积(Semi-directproduct)，记作N×H.进一步，我们有群得的分裂短正合列1N×H=H-1这里o(n):= (n,eH),(n,h):=h, a(h)= (eN,h)证明(1)结合律(n1,hi)(n2,h2)(n3,h3) =(n1 ng"),hh2)(n3, ha) = (1 n".ngaha),hhzh3),(n1,h)(m2, h2)(n,h3)=(,h1)(n2 ng),hh3)=(n1 (n2 ng),hzh),由群作用是同态的假设，上面两式最右端显然相等(2幺元(eN,eH)(n,h) = (eN -nen,eH -h) = (n,h)类似可证(n,h)(eN,eH)=(n,h)。(3）逆元(n,h)(n-1)h,h-1) = (en,eH) = (n-1)h,h-1)(n, h)-(4)分裂短正合列是显然的，我们不再详细验证.例1.1.3(1)如果H平凡作用在N上，那么N×H=N×H.(2)考虑Z2在Zn上的作用→-，则N× H = (a,b| a" = b2 = baba = e),-即二面体群D2n命题1.1.3设G是群，N是G的正规子群，iN—G是包含映射，H=G/N,π：G→H是自然同态，假设存在单同态α：H→G，使得πoα=idH，那么我们有H在N上的右作用n-o(h)-lno(h),nEN,h EH.此时半直积G兰N×H，这里的同构映射定义为9→（gα(元(9))-1,元(g))，其逆映射为(n,h）一→i(n)o(h)(留给读者验证)-2-