第十五章微分形式的积分初次阅读本书时，本章内容可以略过，也可以将部分内容作为选读材料，本章主要的任务是将前一章中的Green公式，Gauss公式和曲面上的Stokes公式统一在一起，为了做到这一点，我们要引入新的研究对象，它们是函数以及向量值函数的推广，称为微分形式，815.1欧氏空间中的微分形式在第十二章中，我们引入了函数的梯度场和全微分的概念，在某种意义上，这是一对对偶的概念，事实上，在某一点处，函数的梯度是R”中的一个向量，而函数的微分是R"的对偶空间(R")*中的一个向量.在R"和(R")*之间存在着自然的线性同构Rn→(R")*,Hw,(u)=·u,VuER"此同构的逆为(R")→Rn,Φ-, .u=o(u),VuER".设[e]-1为Rn的标准基，(R")的对偶基记为[ej)3=1,则有(e)b=e,(ei)=e设f为可微函数，由df(u)=Vf·u可得(vf)=df(df)=vf特别地，当f()=；时上式回到前式.一般地，设X为向量场，则Xb为1-形式，其中X()=(X(a)),VER"反之，设w为1-形式，则w为向量场设X为向量场.如果X等于某个函数f的梯度场，则称X为保守场，f为一个势函数.根据以上讨论，X为保守场当且仅当X等于某个函数的全微分设w为1-形式.我们称w是Ck（k≥0)的，如果w"为Ck向量场（即它的每一个分量均为Ck函数).设：[α,β]→R"为分段C1的连续曲线，w为连续1-形式，w沿α的积分定义为w(o(t) '(t) dt.=141
第十五章 微分形式的积分 初次阅读本书时, 本章内容可以略过, 也可以将部分内容作为选读材料. 本章主要的任务是将前一章中的 Green 公式, Gauss 公式和曲面上的 Stokes 公式统一在一起. 为了做到这一点, 我们要引入新的研究对象, 它们是函数以及向 量值函数的推广, 称为微分形式. §15.1 欧氏空间中的微分形式 在第十二章中, 我们引入了函数的梯度场和全微分的概念. 在某种意义上, 这 是一对对偶的概念. 事实上, 在某一点处, 函数的梯度是 R n 中的一个向量, 而函数 的微分是 R n 的对偶空间 (R n) ∗ 中的一个向量. 在 R n 和 (R n) ∗ 之间存在着自然的 线性同构 R n → (R n ) ∗ , v 7→ v [ , v[ (u) = v · u, ∀ u ∈ R n . 此同构的逆为 (R n ) ∗ → R n , φ 7→ φ ] , φ] · u = φ(u), ∀ u ∈ R n . 设 {ei} n i=1 为 R n 的标准基, (R n) ∗ 的对偶基记为 {e j} n j=1, 则有 (ei) [ = e i , (e i ) ] = ei . 设 f 为可微函数, 由 df(u) = ∇f · u 可得 (∇f) [ = df, (df) ] = ∇f. 特别地, 当 f(x) = xi 时上式回到前式. 一般地, 设 X 为向量场, 则 X[ 为 1−形式, 其中 X[ (x) = (X(x))[ , ∀ x ∈ R n. 反之, 设 ω 为 1−形式, 则 ω ] 为向量场. 设 X 为向量场. 如果 X 等于某个函数 f 的梯度场, 则称 X 为保守场, f 为一 个势函数. 根据以上讨论, X 为保守场当且仅当 X[ 等于某个函数的全微分. 设 ω 为 1−形式. 我们称 ω 是 C k (k ≥ 0) 的, 如果 ω ] 为 C k 向量场 (即它的每 一个分量均为 C k 函数). 设 σ : [α, β] → R n 为分段 C 1 的连续曲线, ω 为连续 1−形 式, ω 沿 σ 的积分定义为 ∫ σ ω = ∫ β α ω [ (σ(t)) · σ 0 (t) dt. 141
142第十五章微分形式的积分这是我们在前一章中讨论过的第二型曲线积分，在物理中，第二型曲线积分可以描述为场沿着某一条路径所做的功．相应地我们有命题15.1.1.设DCR"为区域，X为D中的连续向量场.则X为保守场当且仅当它沿路径所做的功与路径的选取无关，而只依赖于路径的端点，证明.设X为保守场，于为其势函数.给定D中曲线（路径)α：[α,→R",则X沿所做的功为/Vf(a(t) 0(t) dt = / [f(o)'dt = f(o(B) - f(o(a),W=这说明所做的功只与路径的端点有关，反之，设X沿路径所做的功只依赖于路径的端点在区域D中固定一点°当ED时，选取连接O和的曲线o，定义/ xf(a) =口不难验证，f为D中可微函数，且X=Vf.推论15.1.2.设w为区域D中的连续1-形式.则w为某个函数的全微分当且仅当它沿D中的任何闭曲线积分为零，口证明.留作练习以上我们对1-形式和第二型曲线积分做了简单回顾.接下来再看所谓的2-形式.在前章定义第二型曲面积分时，我们引进了有向面积元的概念，这是2-形式概念的维形，为了给出2-形式概念的准确定义，我们先做一点线性代数的预备，为此，设，E（R")*，定义Rn中的二次型如下：p:RnxRn→R,Φ@w(u,v)=o(u)b(u),Vu,UERn.我们规定=-,这是一个反对称的二次型.R"中反对称二次型的全体记为^2（R"）*，这是一个向量空间，其维数等于n(n-1)/2命题15.1.3.向量空间^2(R")*的一组基为[dai^da|1≤i<j≤n)证明.用对偶基的记号，dr;=e.我们先说明[ei^e)（i<）张成^2(R")-事实上，设B为反对称二次型，记bi=B(ei,ej).当u=（ui，，un）=Cujei0
142 第十五章 微分形式的积分 这是我们在前一章中讨论过的第二型曲线积分. 在物理中, 第二型曲线积分可以描述为场沿着某一条路径所做的功. 相应地, 我们有 命题 15.1.1. 设 D ⊂ R n 为区域, X 为 D 中的连续向量场. 则 X 为保守场 当且仅当它沿路径所做的功与路径的选取无关, 而只依赖于路径的端点. 证明. 设 X 为保守场, f 为其势函数. 给定 D 中曲线 (路径) σ : [α, β] → R n, 则 X 沿 σ 所做的功为 W = ∫ β α ∇f(σ(t)) · σ 0 (t) dt = ∫ β α [ f(σ) ]0 dt = f(σ(β)) − f(σ(α)), 这说明所做的功只与路径的端点有关. 反之, 设 X 沿路径所做的功只依赖于路径的端点. 在区域 D 中固定一点 x 0 , 当 x ∈ D 时, 选取连接 x 0 和 x 的曲线 σ, 定义 f(x) = ∫ σ X[ . 不难验证, f 为 D 中可微函数, 且 X = ∇f. 推论 15.1.2. 设 ω 为区域 D 中的连续 1−形式. 则 ω 为某个函数的全微分当 且仅当它沿 D 中的任何闭曲线积分为零. 证明. 留作练习. 以上我们对 1−形式和第二型曲线积分做了简单回顾. 接下来再看所谓的 2−形 式. 在前章定义第二型曲面积分时, 我们引进了有向面积元的概念, 这是 2−形式概 念的雏形. 为了给出 2−形式概念的准确定义, 我们先做一点线性代数的预备. 为 此, 设 φ, ψ ∈ (R n) ∗ , 定义 R n 中的二次型 φ ⊗ ψ 如下: φ ⊗ ψ : R n × R n → R, φ ⊗ ψ(u, v) = φ(u)ψ(v), ∀ u, v ∈ R n . 我们规定 φ ∧ ψ = φ ⊗ ψ − ψ ⊗ φ, 这是一个反对称的二次型. R n 中反对称二次型的全体记为 ∧ 2 (R n) ∗ , 这是一个向量 空间, 其维数等于 n(n − 1)/2. 命题 15.1.3. 向量空间 ∧ 2 (R n) ∗ 的一组基为 {dxi ∧ dxj | 1 ≤ i < j ≤ n}. 证明. 用对偶基的记号, dxi = e i . 我们先说明 {e i ∧ e j} (i < j) 张成 ∧ 2 (R n) ∗ . 事实上, 设 B 为反对称二次型, 记 bij = B(ei , ej ). 当 u = (u1, · · · , un) = ∑n i=1 uiei ,
915.1欧氏空间中的微分形式143nCue时，有U = (U1,+++,Un) =i3inB(u,u) =Ebijui=bg(uij-ujui)i.j=1i<j另一方面，eAe'(u,v)=e(u)e (u)-e(u)e'(o) =uiwj-ujui,这说明B=bijetΛej.我们再说明fe^ej)（i线性无关事实上，设cjeei=0,其中i<jcijER,则当k<l时，有O=-Ecije'Ae'(ek,et)=-Eci[e'(ek)e (et) -e'(ek)e'(et)]i<ji<jc[8g-oi] =Chkl,i<j口其中i=j时8=1i时8=0有了以上预备，我们可以给出2-形式的定义：取值在^2（R"）*中的场称为2-形式或2次微分形式.设w为2-形式，根据刚才的讨论，它可以写为w=wijdriAdaji<j其中wi为函数.当它们均为Ck函数时，称w为Ck的2-形式一般地，我们可以在R"中定义所谓的高次微分形式，它们的雏形为有向体积元。我们仍然从线性代数开始。首先引入R"中多线性型的概念。设1≤q≤n，Rn中的一个g次多线性型是指定义在Rn×..·×Rn（g个相乘）中的函数，要求它关于每一分量都是线性的.例如，设（19-，均属于（R"）*，定义9次多线性型.·?如下·.@o(u,...,u)=o(ul)...(u),Vu,...,u"eR"进一步，规定^..^=(-1)"(1)@..@o(g),(15.1)TES其中Sg表示集合[1,，9)的置换群，当元为偶置换时（-1)”=1，奇置换时(-1)*=-1.显然，91^...^09也是9次多线性型，它关于任意两个不同的分量都是反对称的，即lA...Ao(...,u,...,u,..)=-olA...Ao(...,u,...,u,...)
§15.1 欧氏空间中的微分形式 143 v = (v1, · · · , vn) = ∑n i=1 viei 时, 有 B(u, v) = ∑n i,j=1 bijuivj = ∑ i<j bij (uivj − ujvi). 另一方面, e i ∧ e j (u, v) = e i (u)e j (v) − e j (u)e i (v) = uivj − ujvi , 这说明 B = ∑ i<j bij e i ∧ e j . 我们再说明 {e i ∧ e j} (i < j) 线性无关. 事实上, 设 ∑ i<j cij e i ∧ e j = 0, 其中 cij ∈ R, 则当 k < l 时, 有 0 = ∑ i<j cij e i ∧ e j (ek, el) = ∑ i<j cij [ e i (ek)e j (el) − e j (ek)e i (el) ] = ∑ i<j cij [ δ i k δ j l − δ j k δ i l ] = ckl, 其中 i = j 时 δ i j = 1, i 6= j 时 δ i j = 0. 有了以上预备, 我们可以给出 2−形式的定义: 取值在 ∧ 2 (R n) ∗ 中的场称为 2−形 式或 2 次微分形式. 设 ω 为 2−形式, 根据刚才的讨论, 它可以写为 ω = ∑ i<j ωijdxi ∧ dxj , 其中 ωij 为函数. 当它们均为 C k 函数时, 称 ω 为 C k 的 2−形式. 一般地, 我们可以在 R n 中定义所谓的高次微分形式, 它们的雏形为有向体积 元. 我们仍然从线性代数开始. 首先引入 R n 中多线性型的概念. 设 1 ≤ q ≤ n, R n 中的一个 q 次多线性型是指定义在 R n × · · · × R n (q 个相乘) 中的函数, 要求 它关于每一分量都是线性的. 例如, 设 {φ i} q i=1 均属于 (R n) ∗ , 定义 q 次多线性型 φ 1 ⊗ · · · ⊗ φ q 如下: φ 1 ⊗ · · · ⊗ φ q (u 1 , · · · , uq ) = φ 1 (u 1 )· · · φ q (u q ), ∀ u 1 , · · · , uq ∈ R n . 进一步, 规定 φ 1 ∧ · · · ∧ φ q = ∑ π∈Sq (−1)πφ π(1) ⊗ · · · ⊗ φ π(q) , (15.1) 其中 Sq 表示集合 {1, · · · , q} 的置换群, 当 π 为偶置换时 (−1)π = 1, 奇置换时 (−1)π = −1. 显然, φ 1 ∧ · · · ∧ φ q 也是 q 次多线性型, 它关于任意两个不同的分量都 是反对称的, 即 φ 1 ∧ · · · ∧ φ q (· · · , uj , · · · , ui , · · ·) = −φ 1 ∧ · · · ∧ φ q (· · · , ui , · · · , uj , · · ·).
144第十五章微分形式的积分事实上，根据（15.1)式，当ul,，9eRn时，有l A.Ag9(ul,..+,ug) = (-1)*g(1) @...@g(g)(ul,.,ug)TES= (-1)"(1)(u)... (g)(u9)TES.= det (s(u)由此还可以得出(1) ..-g*(g) = (-1)" ... 9.(15.2)我们把R"中关于任意两个不同分量都反对称的次多线性型的全体记为^(R")*类似于前面的讨论可知，这是一个维数等于C9的向量空间，它的一组基为driA...Adi,l<i<...<ig<n.取值在^"(Rn)*中的场称为g-形式或g次微分形式.设w为-形式，则它可以表示为w=Z wini,dain A...Adarig.(15.3)i<...<ig其中wii为函数．当它们均为Ck函数时，称w为Ck的q-形式设wn为q-形式，它们的和w+也是q-形式，其中w+n在处的值为w(r)+n().类似地，设f.g为函数，则fw+gn为q-形式，它在处的值为f(r)w(a) + g()n().设w,分别为p-形式和q-形式，它们可以表示为7w=Wi.i,driAAdtip,n=nidajiAAdriii<...<ipji<.<jq令wn=EZwi,irdai A..Adai,Adai A..Adrig.ii.ipji<jg则w^n为(p+g)-形式.下列性质可以直接验证：·设wi,w2为p-形式，n为q-形式，fi,f2为函数，则(fiw1+f2w2)^n=fi(wi^n)+f2(w2^n)·设w,n分别为p-形式和q-形式,则w^n=(-1)P+9mw
144 第十五章 微分形式的积分 事实上, 根据 (15.1) 式, 当 u 1 , · · · , uq ∈ R n 时, 有 φ 1 ∧ · · · ∧ φ q (u 1 , · · · , uq ) = ∑ π∈Sq (−1)πφ π(1) ⊗ · · · ⊗ φ π(q) (u 1 , · · · , uq ) = ∑ π∈Sq (−1)πφ π(1)(u 1 )· · · φ π(q) (u q ) = det ( φ i (u j ) ) q×q . 由此还可以得出 φ π(1) ∧ · · · ∧ φ π(q) = (−1)πφ 1 ∧ · · · ∧ φ q . (15.2) 我们把 R n 中关于任意两个不同分量都反对称的 q 次多线性型的全体记为 ∧ q (R n) ∗ . 类似于前面的讨论可知, 这是一个维数等于 C q n 的向量空间, 它的一组基为 dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , 1 ≤ i1 < · · · < iq ≤ n. 取值在 ∧ q (R n) ∗ 中的场称为 q−形式或 q 次微分形式. 设 ω 为 q−形式, 则它可以表 示为 ω = ∑ i1<···<iq ωi1···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , (15.3) 其中 ωi1···iq 为函数. 当它们均为 C k 函数时, 称 ω 为 C k 的 q−形式. 设 ω, η 为 q−形式, 它们的和 ω + η 也是 q−形式, 其中 ω + η 在 x 处的值 为 ω(x) + η(x). 类似地, 设 f, g 为函数, 则 fω + gη 为 q−形式, 它在 x 处的值为 f(x)ω(x) + g(x)η(x). 设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 它们可以表示为 ω = ∑ i1<···<ip ωi1···ip dxi1 ∧ · · · ∧ dxip , η = ∑ j1<···<jq ηi1···jq dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq . 令 ω ∧ η = ∑ i1<···<ip ∑ j1<···<jq ωi1···ip ηi1···jq dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq , 则 ω ∧ η 为 (p + q)−形式. 下列性质可以直接验证: • 设 ω1, ω2 为 p−形式, η 为 q−形式, f1, f2 为函数, 则 (f1ω1 + f2ω2) ∧ η = f1(ω1 ∧ η) + f2(ω2 ∧ η). • 设 ω, η 分别为 p−形式和 q−形式, 则 ω ∧ η = (−1)p+q η ∧ ω
915.1欧氏空间中的微分形式145·设w,n.S分别为p-形式，q-形式和r-形式，则(wAn)A(=w(n)因此，上式中的括号通常可以省略例15.1.1.有向体积元和坐标变换在Rn中，记dr=dri^.^drn.da为n-形式，称为R的体积形式或（有向）体积元.设DCR"为开集，：D→R"为可微映射，它的第个分量记为Pi我们有"ap1mapndA...Adpi.dpnarj-orij=1j=1op1....Oon dri A.A dijin.T=drinorii1Sji.nSn由(15.2)式可知，只有j1,..,jn互不相同时dai^.….^dain才不等于零，因此opi..Dpn drx() ... dex(.)7dpiA..dipn=rEs, Ors(1) 'Orr(n)pi..pndrA..drn(-1)""(1)O()TESnap..pn)dai..din(r1,...,En)上式和重积分的变量替换公式很像，区别在于这里的Jacobi行列式没有绝对值变量替换对微分形式所起的作用可以用所谓的拉回映射来描述我们还从线性代数开始：设L：Rn→Rn为线性映射，它诱导了对偶空间之间的线性映射L*：(R"）*→（Rn）*：当ΦE（Rn）*时令LΦ=ΦoL一般地，设α为多线性型，则L*α为如下定义的多线性型：L'a(ul,...,u9) =α(L(u"),..,L(u")), Vul,...,u"eR"L*称为由L所诱导的拉回映射.当.，9E（R")*时，显然有L*("?...?)=L*?...L*g9由(15.1)式可得L*(0lA...A09)=L*0lA..AL*09.设：D→Rn为可微映射，它在ED处的微分记为*=dp(r）.如果w为q-形式，则*w也为q-形式，它在处的值定义为w(sp().*称为由所诱导的拉回映射，具有下列性质：
§15.1 欧氏空间中的微分形式 145 • 设 ω, η, ζ 分别为 p−形式, q−形式和 r−形式, 则 (ω ∧ η) ∧ ζ = ω ∧ (η ∧ ζ), 因此, 上式中的括号通常可以省略. 例 15.1.1. 有向体积元和坐标变换. 在 R n 中, 记 dx = dx1 ∧ · · · ∧ dxn. dx 为 n−形式, 称为 R n 的体积形式或 (有 向) 体积元. 设 D ⊂ R n 为开集, ϕ : D → R n 为可微映射, 它的第 i 个分量记为 ϕi . 我们有 dϕ1 ∧ · · · ∧ dϕn = (∑n j=1 ∂ϕ1 ∂xj dxj ) ∧ · · · ∧ (∑n j=1 ∂ϕn ∂xj dxj ) = ∑ 1≤j1,··· ,jn≤n ∂ϕ1 ∂xj1 · · · ∂ϕn ∂xjn dxj1 ∧ · · · ∧ dxjn . 由 (15.2) 式可知, 只有 j1, · · · , jn 互不相同时 dxj1 ∧ · · · ∧ dxjn 才不等于零, 因此 dϕ1 ∧ · · · ∧ dϕn = ∑ π∈Sn ∂ϕ1 ∂xπ(1) · · · ∂ϕn ∂xπ(n) dxπ(1) ∧ · · · ∧ dxπ(n) = ∑ π∈Sn (−1)π ∂ϕ1 ∂xπ(1) · · · ∂ϕn ∂xπ(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn = ∂(ϕ1, · · · , ϕn) ∂(x1, · · · , xn) dx1 ∧ · · · ∧ dxn. 上式和重积分的变量替换公式很像, 区别在于这里的 Jacobi 行列式没有绝对值. 变量替换对微分形式所起的作用可以用所谓的拉回映射来描述. 我们还从线 性代数开始. 设 L : R n → R n 为线性映射, 它诱导了对偶空间之间的线性映射 L ∗ : (R n) ∗ → (R n) ∗ : 当 φ ∈ (R n) ∗ 时令 L ∗φ = φ ◦ L. 一般地, 设 α 为多线性型, 则 L ∗α 为如下定义的多线性型: L ∗α(u 1 , · · · , uq ) = α ( L(u 1 ), · · · , L(u q ) ) , ∀ u 1 , · · · , uq ∈ R n . L ∗ 称为由 L 所诱导的拉回映射. 当 φ 1 , · · · , φq ∈ (R n) ∗ 时, 显然有 L ∗ (φ 1 ⊗ · · · ⊗ φ q ) = L ∗φ 1 ⊗ · · · ⊗ L ∗φ q . 由 (15.1) 式可得 L ∗ (φ 1 ∧ · · · ∧ φ q ) = L ∗φ 1 ∧ · · · ∧ L ∗φ q . 设 ϕ : D → R n 为可微映射, 它在 x ∈ D 处的微分记为 ϕ∗x = dϕ(x). 如果 ω 为 q−形式, 则 ϕ ∗ω 也为 q−形式, 它在 x 处的值定义为 ϕ ∗ ∗xω(ϕ(x)). ϕ ∗ 称为由 ϕ 所诱 导的拉回映射, 具有下列性质: