代数几何讨论班备用稿 曲面纤维化简明讲义 华东师范大学数学系 2010
前言本讲义在肖刚《代数曲面纤维化》以及陈志杰和谈胜利的《代数曲面讲义》等文献基础上进行了补充和整理.若千章节之间并非完全按照教学顺序展开。读者可以根据各自情况作适当调整，为方便读者查阅相关概念或结论等，书后附有索引及参考文献此外，每一章节末尾配有若千习题作者在这里要感谢陈志杰、谈胜利教授所提供的指导与建议，此外作者特别感谢TAshikaga教授在伪周期映射理论方面给予的指点，并感谢他提供了诸多重要的参考文献，作者同时要感谢左康教授在相关研究中所给予的指导。最后作者也非常感谢以下各位师弟为本讲义提供了诸多重要的修改建议
目录目录第一章纤维化基础知识11.1基本概念和性质，11.2相对典范层与不变量61.3基变换与稳定约化101.4Albanese映射13本章习题17第二章整体不变量性质182.1相对不变量的非负性182.2基变换不等式，212.3Arakelov不等式，232.4典范类不等式，272.5肖刚不等式292.6相对不规则性估计36本章习题37第三章局部不变量性质383.1纤维模型与局部不变量383.2奇异纤维陈数403.3局部Arakelov型不等式443.447局部典范类不等式..3.5局部Miyaoka-Yau型不等式51本章习题53第四章54纤维化拓扑性质4.1基本群与垂直部分544.2映射类群与伪周期映射594.365拓扑单值与分裂形变4.4超椭圆曲线族的拓扑(I)694.5超椭圆曲线族的拓扑(II)74本章习题80第五章特殊纤维化研究815.1几何直纹面。815.2椭圆纤维化.845.3超椭圆纤维化875.4亏格3非超椭圆纤维化955.5Pl上的纤维化.100一些例子5.6.104本章习题107-ii -
目录第六章相对典范代数1096.1除子上的可逆层..1096.2除子上的典范代数.1156.3小亏格纤维的典范代数..1196.41-2-3猜想与Green猜想..124本章习题...130第七章Mordell-Weil格.1327.1格的预备知识：..1327.2基础性质....1337.3具体例子...136本章习题....138第八章其他专题选讲..1398.1高维纤维化，.1398.2特征p纤维化，.1418.3曲线模空间..143本章习题......145参考文献.146-ili-
第一章纤维化基础知识第一章纤维化基础知识1.1基本概念和性质设S是光滑射影曲面，C是亏格为b的光滑代数曲线.曲面S上的纤维化（Fibration）就是从S到C的全纯满态射f：S一→C，使得每个点pEC)在f下的原像F是连通曲线.C称为f的底曲线(Basecurve)我们称Fp为于在点p处的纤维（Fiber)：如果一条纤维F是光滑既约曲线，那么我们就称之为光滑纤维；反之，则称为奇异纤维（Singularfiber），并将其像点p称为临界点.S上的一条不可约曲线T如果其像f(T）是一个点，则称为垂直的：否则称为水平的.如果水平曲线r与一般纤维相交数为1，则称之为f的截面(Section).显见截面T兰C.命题1.1.1设f：S→C是纤维化，则(1）是平坦态射，且任何纤维都有相同的算术亏格：(2)至多只有有限条奇异纤维证明(1)参看[Hat77,III9.10/1IIex10.9](2)来自于Bertini定理。这里我们给出另一种较为直观的局部计算性证明，设pEC,Fp是对应的纤维.任取一点qEFp，考虑q附近局部坐标（t,y）以及pEC附近的局部坐标t.此时，纤维化f在α附近的局部方程可写为f(a,g)=t.(F.q)是曲线奇点当且仅当q满足(df)α=0,即f(a,y)=t,1%== 0.我们令是曲面S上所有上述奇点构成的集合的闭包.显见是解析子集，且dim≤1.如果存在不可约曲线ICZ，则我们可以断言T是垂直分支若不然，f：F一→C诱导一个有限覆盖.因此我们可取T的一个光滑点及其局部邻域V，使得f：TIv→△是局部同构，此处△是C中相应的像邻域.换言之，存在局部全纯函数g(t),h(t)，使得t=f(g(t),h(t)),Vte△两边求导得到1=%-0(0+%+af.h(t).但由T的选取可知，在「Iv上恒有%=%=0,这与上式导致矛盾！这样我们可将之写为Z-U...UT,UEo-这里诸I，是垂直分支，Z。为有限点集.因此f只有有限条奇异纤维对一般纤维F，记其亏格为9=g(F)：由于9不依赖于F的选取，因此我们也称之为纤维化f的亏格；f也常称为亏格g纤维化(Fibrationofgenusg).当g=0时，f：S→C亦称为几何-1-