《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-4 对称矩阵的相似矩阵

相似矩阵及二次型 第四节 对称矩阵的相似矩阵 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法 三、小结 思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵定理1对称矩阵的特征值为实数证明设复数a为对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的特征向量即Ax = 2x, x ± 0.用入表示的共轭复数，x表示x的共轭复向量则Ax = Ax =(Ax)=(ax)= ax正页下页回

定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x  0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) =  x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH于是有xT Ax = xT(Ax) = xT ax = ax x及 x Ax =(/ A =(Ax) x =(ax) x- x x两式相减，得(a-)xx = 0.但因为x±0,所以 xx=x,x,=x, →0, →(a-)=0,i1i1即=，由此可得是实数上页回下页

于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T =  x x, T =  (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T =  x x. T =  两式相减，得 ( − )x x = 0. T   但因为x  0,  ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 =  =   = = n i i n i i i T 所以 x x x x x

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理1的意义由于对称矩阵A的特征值a,为实数,所以齐次线性方程组(A- a,E)x =0是实系数方程组,由A-α;E =0知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量页回下页

定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i   

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理2设a，2，是对称矩阵A的两个特征值，PiP,是对应的特征向量若, ± 2,则p,与p,正交证明 ,P, = Ap1, 2P2 = Ap2, ± 22: A对称,A= AT,. 2 PT =(αP) =(Ap)= PTAT = PTA于是 2 PT P2 = PT Ap2 = P,T(2P2) = 22 PT P2.(a, - a,)pr Pz = 0.: ± 2, : PP2 = 0. 即p,与p,正交页回下页

, , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p      证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) 0.  1 − 2 p1 p2 = T   , 1  2 .  p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T