向量组的线性相关性 第三节 向量组的秩 一、最大线性无关向量组 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、最大线性无关向量组定义1 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量α1,α2,...,α,满足(1)向量组A,:α1,α2,…,α,线性无关(2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相联，那末称向量组A,是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大格无关组）最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0回下质
，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、矩阵与向量组秩的关系定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩证 设A=(ai,a2,….,am),R(A)=r,并设r阶子式D，±0.根据4.2定理2由D.≠0知所在的r列线性无关;又由A中所有r+1阶子式均为零，知A中任意r+1个列向量都线性相关．因此D,所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证A的行向量组的秩也等于R(A)2回下质
. 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2 = = r m D 设A a a a ，R A r 并设r阶子式 定理１ 关； 根据4.2定理2由Dr 0知所在的r列线性无 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH向量组aj,a2,...,am的秩也记作R(a,,a2,..,am)结论若D,是矩阵A的一个最高阶非零子式，则D所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，D所在的r行即是行向量组的一个最大无关组说明(1）最大无关组不唯一（2）向量组与它的最大无关组是等价的页回下质
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) R a1 a2 am 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1全体n维向量构成的向量组记作R"，求R"的一个最大无关组及R"的秩解因为n维单位坐标向量构成的向量组E:er,e2..",en是线性无关的，又根据4.2定理3的结论(3)知R中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E是R"的一个最大无关组，且R"的秩等于n上页画下页
是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组