第一章基础知识它的上同调记作H*(X,U,Z)，称为（XU）的相对奇异上同调（Relativesingularcohomology)由短正合列0 →Csing(X,U) → Csing(X) → Csing(U) → 0诱导相对奇异上同调的长正合列... Hk-1(X) Hk-I(U) H*(X,U) Hh(X) -利用相对奇异上同调及Thom同构定理，在很多情形下可以有效计算H*(X)-M的滤过指一族子复形（FPM）构成的递减列M=FM-FM...-FP-1M=FPM...使得(FP(Mk))p>0构成Mk的滤过，并且有诱导态射dk：FPMk→FPMk+1.这样的复形也称为滤子化复形（Filteredcomplex)。对M的第i上同调H'(M)，我们可以进一步诱导它的滤过FPH"(M):= Im(H"(FPM)- H'(M)).上述诱导滤过也可以推广到更一般情形.设另一Abel范畴，F是从&到的左正合函子，且4有足够多的内射对象.这样，对每个左边有界的复形，我们有右导出函子作用RiF(M).如果M有滤过，则可诱导态射api:RF(FPM)R'F(M).令FPR'F(M) := Imap,t,则可诱导RF(M）上的滤过(1)对复形M，取FPM:=M≥P,即例1.5.40MPMP+1MP+2这样的滤过被称为“朴素”滤过（"Naive”filtration）(2)设(MP,,D1,D2)是双复形，（M,D)是相应的诱导复形，即Mh= @ MP,D = Di + (1)PD2.p+q=k它有两种滤过'FPMk=?Mr.s,r>r"FPMh=④Mr.sr+s=k,s≥p考虑到对称性，我们这里仅讨论第一种情形，注意到DMP9≤MP+1,9MP,+1，所以我们有诱导态射D：‘FPMk一‘FPMk+1.这就得到了复形M的滤过，我们称之为双复形滤过，-设K和L是某拓扑空间X上（Abel群）层的复形，我们定义一个三元组（M，α,β)，这里M是X上的层复形，α：K→M及B：L-→M是拟同构.这样的三元组称为K和L的等- 23-
第一章基础知识价（Equivalence)：如果进一步要求上述K，L和M都是滤子化复形，且α，β也是滤子化拟同构，那么（M，α，β）也称为滤子化等价（Filteredequivalence).例1.5.5（1）设α：L→K是拟同构映射，则（Kα,idk）是K和L的等价(2)设有拟同构α：N→L和β：N→K.令M=（L④K)/(α,β)N.这样，M连同LK到M'的自然态射构成了K和L的等价(3）利用以上结论，可以验证等价实际上诱导了复形之间的等价关系（留给读者验证）：复形滤过可以诱导出相应的谱序列.首先让我们回顾谱序列的概念，设4是Abel范畴，中的谱序列(Spectral sequence)E-9→En(这里a通常取0,1,2)由以下要素构成：(1)d中的一族对象(EP-)，其中p,9,r都是整数，且p,q≥0,r≥a.有时也简记为Er(2)一族态射dp-q : Ep-q→Ep+r.g-r+1满足dd+r.q-r+1dp-=0，且当p9,p+r,g-r+1有一个小于零时皆有9=0.有时也将它们简记为dr.(3)EP1= Kerdp-9/Imdp-r,9+r-1.对每组(p,)，存在一个有关的ro，使得对所有r≥ro，有d-9=0=d-r,g+r-1,从而EP = EP+1 =... del Ep.(4)存在一族对象(E"）（n≥0)，以及对每个En存在一个滤过En=2n222n20,使得Ep/Ep+1=E"-p有时我们也称谱序列（E）收敛于E").设（M,FPM）是复形滤过.我们假设对每个k，存在l.使得FIMk=0.由前讨论，我们可诱导H（M）上的滤过FPH（M）.令Gr, H*(M) := FPH*(M)/FP+IH*(M),GrF Mk := FPM*/FP+1Mk以下结论给出了该复形滤过与谱序列之间的关系定理1.5.1设（M，FPM）如上，则存在谱序列EP9=En满足以下条件：(1)Ep9=GrfMp+g,且d由M的态射d诱导.(2) EP = Grf HP+9(M).证明设ZP-9 := [α E FPMP+9 dr E Fp+r MP+g+1)Bp-9 := zp±1-9-1 + dzp=r+1,g+r-2由ZP-9定义可知BP-9ZP9.今取EP9=ZP9BP-9,则由d可诱导态射dP-9：EP-9→EP+r,9-r+1,且满足d+r,4r+1dp-=0.- 24-
第一章基础知识注意到Z-9=FPMP+q,BP=Fp+1MP+9,故有EP-=GrfMP+g对给定的n，当k≥n充分大时，由假设条件知FkMn=0,FkMn-1=0及FkMn+1=0这样，对n=p+q，有ZP1 = Ker(d : FPMm - FPMn+1),Z+1,9-1 = Ker(d : FP+1Mn FP+IMm+1),dzp-k.+k-1= FPM"nImd.因而EP+i=Gr,Hn(M)谱序列需满足的其他条件可从定义直接验证，我们不再一一赞述1推论1.5.1EP-9=HP+4(GrM)，态射dp：EPgEP+1等价于由以下正合列诱导的连接同态$：HP+a(GrM)→HP+a+1(GrP+M),0GrP+1MFPM/FP+2MGrM0设（MP-9,D1,D2)是双复形，（M,D)是相应的诱导复形如例1.5.4(2)所述，此时有两种滤过"FPM"及"FPM"，从而对应两种谱序列‘E及"Er.我们考虑第一种谱序列.此时有(1) 'EP-9 = MP.9, do = (-1)PD2,(2)EP=H(MP)，di：H(MP）—H(MP+1）由以下复形态射诱导DI : MP,-→ MP+1,.例1.5.6设X是复流形，令MP-9=AP9(X)是(p,Q)形式全体.此时双复形态射取为(a,の)，诱导的单复形就是DeRham复形（A(X),d)，我们称谱序列'Er为Frolicher谱序列.此时,EP-9 = H9(AP(X),) = H9(X,OX)态射di:Ep→EP+19由诱导,即a:H(X,2)→H(X,2+1)-如果复形滤过（M,FPM)诱导的谱序列满足以下条件，那么我们称其在E,处退化(Degenerate)：对任何k≥r，有dk=0.此时有EP-=E9=GrHp+(M).比如紧Kahler流形上的Frolicher谱序列在E退化（见定理2.2.4)设4是拓扑空间X上的Abel群层构成的范畴，F是层的复形.设U={Uα}是X的开覆盖.CP(U,F）是取值F的p次Cech余链.我们有两个算子 :CP(U, F9) → CP+1(U, F9),d :CP(U, F) CP(U, F+1)满足d2=82=0,d8+8d=0.因此诱导双复形[CP.9 := CP(U, F"); , d)设(C(U),D)是相应的诱导复形.由此可进一步诱导出所谓的超上同调(Hypercohomology)H*(X, F) := lim Hb(C (U)由此我们可以得到两个谱序列'E及"E.我们有'EP- = lim H(C(FP)) = H9(X, FP),- 25-
第一章基础知识"EP-=limH(C9(F),以及'EP=H(H(X,F))"EP4 = HP(X,H(F))我们在这里罗列部分关于超上同调的性质命题1.5.1设α：F→g:是拓扑空间X上Abel群层复形之间的映射，则(1)我们有诱导的自然同态H(Q) :H(X.F)H(X,G)(2)如果α是拟同构，那么对所有q,H(α)都是同构此外，任何短正合列总是诱导超上同调群的长正合列关于超上同调，还有以下经典结论定理1.5.2(抽象de Rham定理）设X是拓扑空间，F是X上的层，F一K是F的析解，那么HP(X, F) = HP(X,K).假如HP(X,K9）=0对所有9以及所有p>0成立，那么我们也有典范同构HP(X,K) = HDR(X,K) := H(T(X,K)),这里T(X，K）是指由整体截面函子I诱导的复形.例1.5.7取F=C为局部常数层，K是全纯DeRham复形00x=2x=..=2=0设i：C→Ox是包含映射.可以证明C=K是C的析解，从而H(X,C)=H(X,2x).3本章习题习题1.1将例子1.1.2的讨论推广到n维复向量空间上习题1.2设X=IR3是三维欧氏空间，《e1,e2,e3）是2x的一组基，gij=(ei,ej）是黎曼内积.请写出Hodge算子的具体表达式习题1.3证明引理1.1.3的结论习题1.4设X=R2是二维欧氏空间，(dr,dy)是2x的标准正交基.设ao=fEA(X)，a1=fda+gdyEA(X),a2=fda^dy,请计算d*a及△aak(h=0,1,2)习题1.5证明式(1-5)习题1.6设E,F是具备度量的向量丛，P：Co(E）→Co(F)是微分算子，P*是相伴算子，证明：P的符号与P*的符号伴，即ap(α）=op(α)*，VαEQx，特别地，若rk(E)=rk(F),那么P是椭圆的当且仅当P*是椭圆的.- 26-
第一章基础知识习题1.7设E是复流形X上的全纯向量丛，(1)证明：e的局部定义不依赖于E的局部标架选取(2)证明：Ker(@E：A0.0(E)→A0.1(E))就是E的全纯截面全体(3)验证E的莱布尼兹公式.(4)验证=0.习题1.8设X是n维紧复流形,αAnn-1(X)An-1.n(X)，证明：JxOα=Jxα=0,并将该结论推广到全纯向量丛上.（提示：利用Stokes公式及d=a+の）习题1.9证明引理1.3.5的结论，习题1.10证明式(1-14)习题1.11设X是Kahler流形，Y是其复子流形证明：Y也是Kahler流形.进一步，如果Y是紧的，那么它不可能是X的边界，习题1.12设X是紧Kahler流形，E是全纯向量丛，证明：射影丛P(E)也是紧Kahler流形。习题1.13具体验证推论1.4.1.习题1.14假设ZeGrass(k,W),feih<i<k是z的基,az=eiΛ...Λek(1)证明:k+1Z=(ueWlazAu=oin^W)从而命题1.4.2中的Plicker映射是单射.(2)进一步证明Plicker映射是全纯浸入，习题1.15验证例1.5.5的诸结论-27-