第一章基础知识命题1.3.1假设X是复流形，αEc.βE2xc，那么(1)(Leibniz法则)()=(),0(αβ)=0αβ+(-1)*α0β(2) 02 = 0, 2 = 0, 0 + 0 = 0.X上的Hermite度量h是2阶光滑复值张量场，使其在每个点aEX处的限制是切空间Tx,上的正定Hermite结构.带有埃尔米特度量的(近）复流形X称为（近)Hermite流形.我们写h=g一iw.由前面讨论已知g是黎曼度量Kahler形式w是实值的(1,1)型2次形式，即wE2n2xR：如果X是Hermite流形，且w是闭形式，则称X是Kahler流形，此时h称为Kahler度量，如果Kahler类[w]eH(X,Z)，我们就称[w]是整的.带有整Kahler类的紧复流形称为极化流形(Polarisedmanifold)，记作(X，[w])注1.3.1由引理1.1.4.Kahler形式有如下表达式zhagdeaA dza.w=闭条件dw=0在局部上等价于存在实函数F(z,)，使得82F(z, z)ha3-这一局部函数称为Kahler势，遗憾的是，Kahler势一般无法在整体上定义，且不唯一，-注1.3.2由Kodaira-Akizuki-Nakano消失定理可以证明：极化流形必是射影簇引理1.3.1设(X,h)是Kahler流形，dimX=2n，EX.设[e-是Tx,在C上的一组基，使得h(ej,ek)=%，那么(1)(ei,lei,...,en,Ien)是黎曼度量gr下的正交基(2)设(da1,dyi,,dandyn）是2x,a，R的相应对偶基，令dzj=daj+idyi（j=1,.，n)，则indaiAdzWr=-1(3) Vol =岁:(4)如果X是紧的，那么wk不可能是恰当形式（k=1,...,n)特别地，Betti数b2h>0证明(1)(2)(3)直接来自于推论1.1.2和引理1.1.4及推论1.1.3.(4）不妨设wh=d.因而由w的闭条件知wn=d(wn-k^).对该式两边积分得w"=/ d(wn-k ^) = 0.IX-但这和Jxwn=n!JxVol>0矛盾！引理1.3.2设X是n维复流形，带有Kahler度量h，EX附近的全纯坐标（z1，，zn)，令hi=h（最，是），那么我们在总可以选取合适的全纯坐标，使得矩阵(hus)1<i.j≤n = In +0(/zi/2),i这里In是单位阵-13-
第一章基础知识注1.3.3Kahler流形X的复子流形也是Kahler流形.进一步，如果该子流形还是紧的那么由其体积元积分的正性可以推出它不可能是X的边界（习题1.12)，这些结论可以用来构造.Kahler流形和非Kahler流形的例子以下如无特别声明，我们总假设X是n维Hermite流形.我们用AP-9(X）（相应地，A(X))表示X上光滑（p.9)次形式（相应地，光滑复值k次微分形式）全体.由推论1.1.3和注记1.2.1，Hermite度量诱导Hodge算子* : 0Pg 2"-4,n-p.(1-6)进一步也诱导了L?度量αA*β,Q,βEA(X).(1-7)(Q, P)L2 :我们定义*=—**，*=-*0*容易验证，*（相应地，可)将（(p,Q)次形式映为(p-1,9)次形式(相应地，(p,q-1)次形式)d=3*+*可以视为余微分的复延拓引理1.3.3*（相应地，）是（相应地，可）是关于L2度量的伴随算子证明设αEA(X)，βEA+(X).利用命题1.3.1和式(1-7)，我们有(α^*) -(-1)%α(*)(@α,β)La = /注意到α^*βAn-1(X)=Ann-1(X)An-1n(X),故 Jx(α*β)=0.另一方面，*-1a*β=（-1)**β推出*β=（-1)+1**β（习题1.8).因而α^(*P) = (-1)*+1 α*(@*β) = (-1)+1(α,可*β)L2这就推出(,)=()2此时我们可以定义a=*+*及=*+*.我们称Ker中的元素为调和形式.艺dzdzi，其Kahler形式为w例1.3.1X=Cn具有标准的Kahler度量h=dzdz如果令f=那么Kahler形式也可写为w=f.此时-pd.di ... zi-2-1)-d-dzi...dzidzi,Adz.A...dzOzRk=1这里dzi表示去掉该项.同样地， d. d. . 1- ... . ... ...azink=1设p.g =[=p,=q-14-
第一章基础知识我们由以上计算可知Ao(ona) = Ao(ona) =2 2eer di d l:(1-8)1ozozi,I.J以及*+*a=0,(1-9)*+0*=0由(1-8)可知(1-10)Ad=2Aa=2事实上，式（1-8)、式（1-9）与式（1-10)对一般Kahler流形也成立（见定理2.2.2与推论2.2.2).■例1.3.2复射影空间X=IPn也是重要的Kahler流形．设[z0,21，，zn]是齐次坐标Kahler形式的齐次坐标表达为eP dk dk-2kgdak A dejik=0k.j=01n(/z/2),w=2[2]4TE12/2.这里：考虑z0≠0的邻域，其局部坐标为s=岁，i=1，，n。于是Kahler形式为(1+S2) E- EEeEk,j=1n(1+)W2(1 + (/2)2这里：IS:/2.这个Kahler形式也被称为Fubini-Study度量。SU(n+1)在Pn下的作-用保持Kahler形式不变注1.3.4由上述例子以及注记1.3.3立知，光滑射影簇是Kahler流形，特别地，我们所熟知的光滑射影代数曲面是Kahler流形.此外还可证明紧Kahler流形上的全纯向量丛对应的射影丛也是Kahler流形-设E是秩k的全纯向量丛上述很多讨论都可以过渡到全纯向量丛上：首先，Hermite度量可以推广到E上，即以光滑方式在每个点EX对应的复向量空间E上给出正定的Hermite结构：此时称E是Hermite向量丛，类似地，我们用AP.q（E)（相应地，A*（E)）表示向量丛2E（相应地，2cE）的C截面全体注1.3.5（1）全纯向量丛的全纯”性体现在局部迁移函数上，而并非指其截面的全纯性(2)由单位分解定理可知复向量丛上必有Hermite度量，(3）Ap9(E)中的截面限制在局部平凡化上可写为（α1,，Qk)，这里αi是（p.)次微分形式：向量丛的截面之间有几类重要的映射：首先是我们熟悉的联络V:C(E)A(E)-15-
第一章基础知识它满足莱布尼兹法则V(fa) =df &a+fVo, aEc(E), f ec(X).其次是算子E:A0(E)A0.+1(E),e(αi,..",α)= (@a1,...,Dak),这里（αi，·，αk）是E的截面在局部标架中的分量表示，αi是（O,)形式.注意到E的转移函数是全纯的，因此上述局部定义不依赖于标架选取，因而可以过渡到整体上（具体验证留给读者)．它满足以下莱布尼兹法则E(α) =αβ+(-1)αB, Q A09(E),(1-11)以及=0.这就诱导了Dolbeault复形.. A.9-1(E) A0(E) E A0.+1(E) .假设X和E各有Hermite度量，则可诱导29E上的Hermite度量（见引理1.1.4).类似注记1.1.1的讨论，这一度量诱导了C反线性同构20&E(29E)*另一方面，2"=2双c由体积元Vol生成，这就给出了同构(20gE)*=2"n-9E*综上，我们即得C反线性同构*E:2E2"-&E*(1-12)2°是全纯向量丛，称为X的典范丛，也记作Kx.因此2-E*=20n-（KxE*).对任何X，ar,B2gE，按照*E的定义则有(aa,β)Vol =aa△*Eβr.注1.3.6请读者注意，式(1-12)与式（1-6)定义的Hodge算子在形式上相差一个共轭.这■一差异来自于Hermite度量在第二分量上的C反线性性我们定义算子可：A09(E)→A0.q-1(E)，满足可e：=（-1)*P00Kx-0*E引理1.3.4是百E是关于L2度量的伴随算子证明对式(1-11)两边求积分并用[x(α^*β）=0（习题1.8)，类似引理1.3.3讨论即得类似地，我们可定义△E=QEoE+のrDE：我们称Ker△E中的元素称为△E-调和形式注1.3.7如果取E=2P.0，那么AP-9(X）=A0.9(E)，此时有E=（-1)P及*-(-1)P可后者的系数来自于式（1-3）及引理1.3.4.-16-
第一章基础知识引理1.3.5(1)a和在x上的符号都是lsP→(2)△E在201E上的符号是2推论1.3.1△，△a，△E都是椭圆微分算子假设E是复流形X上的全纯线丛，h是其上的Hermite度量.考虑X的开覆盖(Uiiel使得Elu,=U×C.设α=oijiel是E的一个全纯截面，局部关系满足gi=gijoj，这里gig是全纯的转移函数，令hi=h(oi,oi)，wi=o0logh（ieD)，则有hi=l9ijpPh（在U,nU)易知aloglgil2=0.因而wi=w（在U;nU).这就定义了X上实（1,1)次微分形式w={wiliel，我们称之为Chern形式.例1.3.3Pm上带有一个自然的全纯线丛S,即对任何△EPn，△可看作Cn+1中的直线，因而我们将它定义成S在△处的茎：这样的S称作tautological线丛，通常我们将S的对偶记作Opn（1)，称作Serre扭层(Serretwistsheaf）或超平面丛（Hyperplanebundle)这一定义也可以推广到格拉斯曼流形上（见第1.4节）设[20,…·，zn]是Pn的齐次坐标.我们可以构造全纯截面α=[a;}=0，其中O;(20,.,2n)=(20,..,zi-1,1,zi+1,,2n)定义在开集U=[20，.…·，zn]|zi≠0}上。因此我们可以构造S上的Hermite度量h，使得h(oi) = 1+ 1zk/2.kti考虑Opn(1)的对偶Hermite度量h*。显见h*(α)=1/h(αi)，这里α是相应的对偶基。现在我们可以构造Opn(1)的Chern形式1=Y1logwi=2i元—2im1+21212kti它是处处正定的．事实上，w={win-，就是例1.3.2中定义的Fubini-Study度量-本节最后回顾一些关于联络的基本事实.首先，对于黎曼流形（X,9)，存在Levi-Civita联络(有时也称黎曼联络）V: C(Tx) →A(Tx),对任何X，ECα(Tx）满足(1)保度量性质：d(g(x,))=g(x,V)+g(Vx,);(2)无性质：x-VX=[x，]这一结论可以过渡到带有Hermite度量的全纯向量丛上命题1.3.2设E是全纯向量，带有Hermite度量h.则存在唯一的联络V.使得(1)该联络保Hermite度量：d(h(o,T))=h(o,VT)+h(Vo,T);(2)设V01=poV：C(E)→A0,1(E),这里p:A(E)→A0.1(E)是投影映射，则有V0,1=可- 17-