《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-5 二次型及其标准形

相似矩阵及二次型 第五节 二次型及其标准形 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 > 四、化二次型为标准形 > 五、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、一次型及其标准形的概念定义1含有n个变量xi,x2,,x,的二次齐次函数f(xi,x2,..,x,)= ai1x + a2x2 +...+amx,+ 2a12xiX2 + 2a13xiX3 +..+ 2an-1,nxn-ixn称为一次型当a,是复数时，称为复二次型；当a,是实数时,称为实二次型+页国下质

一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH只含有平方项的二次型f =kyi +k,y? +...+kny称为二次型的标准形（或法式）：例如f(xi,x2,x3)= 2x +4x + 5x3 - 4xx3f(xi,x2,x,)= xix, + Xix + x,x3都为二次型；f(x1,x2,x3)= x + 4x2 + 4x为二次型的标准形上页下质回

只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、一次型的表示方法1.用和号表示对二次型f(xi,x2,...,xn)= a11x + a22x2 + ... + amx+ 2a12xiX2 + 2a13xix3 +... + 2an-1,nxn-ix.取aj=aj,则2ajxix,=ajxixj+ajxjxi,于是f = aiixi +ai2xix2 +..-+ ainxxn+ a21x2Xi + a22x2 +:.:+ a2nx2xn+... +anixnxi +an2xnx2 +...+annx1M二ajxixji,j=1上页下质回

1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j =  ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2.用矩阵表示f = aiix + ai2x,x2 +..+ainxixn+ a21x2xi + a22x2 +...+ a2nx2xn+.. +anxnx +anx,x, +.+ amx.nW= xi(a11 xi + ai2x, + ... + ainxn)+ x2(a21xi + a22x2 +... + a2nxn)+...+ Xn(aniXi +an2X, +...+ annxn)a11xi + ai2x2 +...+ ainxna21xi + a22x2 +..:+ a2nXn= (X1,x2,.",Xn)anixi + an2X2 +..+anmXn上页回下页

2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +                   + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )