《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5-3 相似矩阵

相似矩阵及二次型 第三节 相似矩阵 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结思考题 帮助 返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH相似矩阵与相似变换的概念一、定义1设A,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P，使p-1 AP = B,则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵国顶下质

一、相似矩阵与相似变换的概念 . , , . , 1 , , , 1 1 称为把 变 成 的相似变换矩阵 行运算 称为对 进行相似变换可逆矩阵 则 称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相 似 对 进 定 义 设 都 是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使 A B P AP A P B A A B A P AP B A B n P − − =

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH二、相似矩阵与相似变换的性质1.等价关系(1)反身性 A与A本身相似若A与B相似,则B与A相似(2)对称性(3)传递性若A与B相似,B与C相似则A与C相似2. P-(A,A,)P =(P-IA,PP-IA,P)3.若A与B相似,则Am与Bm相似(m为正整数）页回下质

1. 等价关系 2. ( ) ( )( ). 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = 3.若A与B相似,则A 与B 相似(m为正整数). m m 二、相似矩阵与相似变换的性质 A与A本身相似. 若A与B相似,则B与A相似. . , , 则 与 相似 若 与 相似 与 相似 A C A B B C (1)反身性 (2)对称性 (3)传递性

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH4. P-(k,A, + k,A,)P = k,P-lA,P + k,P-1A,P其中k，k,是任意常数定理1若n阶矩阵A与B相似则A与B的特征多项式相同从而A与B的特征值亦相同证明A与B相似可逆阵P,使得P-1AP=B:. B- E= P-IAP- P-I(aE)P= P-(A- E)P=P-A-aEP=A-E.上页回下页

证明 A与B相似 B E P AP P (E)P −1 −1  − = − = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . P (k A k A )P k P A P k P A2P 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 4. − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数   P P AP = B −1 可逆阵 ,使得 , . 1 , 式相同 从 而 与 的特征值亦相同 定 理 若 阶矩阵 与 相 似 则 与 的特征多项 A B n A B A B

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH推论若n阶方阵A与对角阵(2)22A=An相似,则,,……,,即是A的n个特征值上页回下页

推论 若 n 阶方阵A与对角阵                =  n    2 1 , , , , . 相似 则1 2   n即是A的n个特征值