南京大学：《实变函数论》课程教学资源（讲义，共八章）

实变函数论讲义程伟2019年12月21日

实变函数论讲义 程伟 2019 年 12 月 21 日

目录7引言70.1起Riemann积分的缺陷9第一章集合与映射集合论91.191.1.1关系1.1.2对等·集合的基数11121.1.3集合族 (列)15第二章准备工作2.1集合论152.1.115集合的运算映射·基数2.1.218292.2R"的拓扑292.2.1Euclid空间R"上的自然拓扑2.2.2更多的拓扑学312.2.3Rn上函数与连续性33362.3α-代数·Borel集·Baire定理2.3.1g-代数362.4Rn作为度量空间3941第三章抽象Lebesgue积分413.1可测集·可测映射·测度413.1.1可测空间与可测映射3.1.2测度空间43可测函数3.2453.3Lebesgue积分463.3.146Lebesgue积分3

目录 引言 7 0.1 Riemann 积分的缺陷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 第一章 集合与映射 9 1.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 对等·集合的基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 集合族（列） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 第二章 准备工作 15 2.1 集合论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 集合的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 映射·基数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 R n 的拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Euclid 空间 R n 上的自然拓扑 . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 更多的拓扑学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 R n 上函数与连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 σ-代数·Borel 集·Baire 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 σ-代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 R n 作为度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 第三章 抽象 Lebesgue 积分 41 3.1 可测集·可测映射·测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 可测空间与可测映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 测度空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 可测函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.1 Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3

目录43.3.2可积函数49零测集的作用513.3.33.3.4积分收敛定理523.4收敛的模式5357Lebesgue测度第四章574.1Lebesgue测度的构造574.1.1Borel集上的Lebesgue测度594.2Lebesgue测度的不变性594.3关于Lebesgue测度的一些注记4.3.1不可测集594.3.2Borel集与Lebesgue可测集60604.3.3Minkowski和4.3.4Lebesgue测度的正则性·Radon测度·Riesz表示定理63可测函数的连续性654.44.567Riemann积分与Lebesgue积分的关系704.6R"上的Fubini定理704.6.1Fubini-Tonelli定理744.6.2Fubini定理的应用习题4.77981第五章LP空间5.1凸不等式815.2LP空间865.3连续函数逼近LP函数885.4习题92微分第六章93Lebesgue微分定理936.1936.1.1Vitali覆盖定理946.1.2Hardy-Littlewood极大函数966.1.3Lebesgue微分定理与Lebesgue点986.1.4Lebesgue点·密度点·近似连续性磨光子1006.1.56.1.6更多关于覆盖定理1016.2坐标变换公式105Sard引理1056.2.1

4 目录 3.3.2 可积函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.3 零测集的作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.4 积分收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 收敛的模式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 第四章 Lebesgue 测度 57 4.1 Lebesgue 测度的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.1 Borel 集上的 Lebesgue 测度 . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Lebesgue 测度的不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 关于 Lebesgue 测度的一些注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.1 不可测集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.2 Borel 集与 Lebesgue 可测集 . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.3 Minkowski 和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.4 Lebesgue 测度的正则性·Radon 测度·Riesz 表示定理 63 4.4 可测函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系 . . . . . . . . . . . . . . 67 4.6 R n 上的 Fubini 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.6.1 Fubini-Tonelli 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.6.2 Fubini 定理的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.7 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 第五章 L p 空间 81 5.1 凸不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 L p 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3 连续函数逼近 L p 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 第六章 微分 93 6.1 Lebesgue 微分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.1 Vitali 覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.2 Hardy-Littlewood 极大函数 . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.1.3 Lebesgue 微分定理与 Lebesgue 点 . . . . . . . . . . . . 96 6.1.4 Lebesgue 点·密度点·近似连续性 . . . . . . . . . . . 98 6.1.5 磨光子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.1.6 更多关于覆盖定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 坐标变换公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2.1 Sard 引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

目录51086.2.2C1微分同胚下的坐标变换公式第七章 R1上函数的微分1111117.1单调函数7.1.1单调函数的可微性1117.1.2单调函数的结构1167.2有界变差函数1201207.2.1BV函数的基本性质BV函数的结构1247.2.2绝对连续函数1267.3习题7.4132习题解答133第八章集合与映射，8.11338.2准备工作1338.3抽象Lebesgue积分1341378.4Lebesgue测度8.5LP空间138微分8.61418.7R1上函数的微分143147附录A不同观点看Lebesgue测度A.1Caratheodory构造与Lebesgue测度147147A.1.1Caratheodory构造A.1.2Lebesgue测度与Caratheodory构造152A.2Brunn-Minkowski不式及其应用154参考文献155

目录 5 6.2.2 C 1 微分同胚下的坐标变换公式 . . . . . . . . . . . . . 108 第七章 R 1 上函数的微分 111 7.1 单调函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.1 单调函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.2 单调函数的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2 有界变差函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.2.1 BV 函数的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.2.2 BV 函数的结构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.3 绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 第八章 习题解答 133 8.1 集合与映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.2 准备工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.3 抽象 Lebesgue 积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.4 Lebesgue 测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.5 L p 空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.6 微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.7 R 1 上函数的微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 附录 A 不同观点看 Lebesgue 测度 147 A.1 Carathéodory 构造与 Lebesgue 测度 . . . . . . . . . . . . . . . 147 A.1.1 Carathéodory 构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 A.1.2 Lebesgue 测度与 Carathéodory 构造 . . . . . . . . . . . 152 A.2 Brunn-Minkowski 不式及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 参考文献 155

引言Riemann积分的缺陷0.1

引言 0.1 Riemann 积分的缺陷