《数学分析》课程教学资源（讲义）第十二章 多元函数的微分

第十二章多元函数的微分在这一章中，我们将研究多个变量的函数或映射的基本性质.在前一章中我们已经研究过连续性了，因此我们将研究多变量函数或映射的微分性质.微分学的基本方法就是对函数或向量值的函数作线性化，用线性映射去作逼近.本章大部分的内容和一元函数相应的内容平行，但有一些地方也有本质不同，我们会在这些地方着重强调说明812.1方向导数和微分在科学和技术问题中，某个数量的值往往依赖于多个因素.在数学上我们用多元函数来表示这种数量。为了研究它们，一个初步的方法就是暂时只关注某一个因素的变化从数学的角度来看，就是先研究函数沿某个特定的方向如何变化，即将多元函数当成一元函数来研究在欧氏空间Rn中，所谓方向就是指某个单位向量.设u为非零向量，u的方向是指单位向量u/llull.两个非零向量u,同向是指u/lull=/lull定义12.1.1(方向导数).设D为R"中的开集，f:D→R为D中定义的函数.对于roeD,以及Rn中单位向量u，如果极限lim[f(r+tu)-f(r0)/t存在，则称f在ro处沿方向u可导，此极限称为于沿u的方向导数于沿方向的方向导数记为.在°处，此方向导数就是一元函数(t)=f(ro+tu)在t=0处的导数，它是函数f沿方向u的变化率.特别地，当u=ei=(0…·，0,1,0,…，0)（第个位置为1的单位向量）时，又将器记为，称为于的第个偏导数，偏导数又记为f如果f=仍然可导，则记fu=最（），f=最（%），称为2阶偏导数.类似地可以定义高阶偏导数。我们也使用形如这样的记号：f-(f)f=(f),=）根据偏导数的定义，在对某个变量求导时，可暂时将其余变量视为常数.因此，计算偏导数可以利用一元函数的各种求导方法，例12.1.1.求f(r,y)=ay的1阶，2阶偏导数fa解 (,)%-()=, =, Jo=1, fry=1, fm=fw=0. 例12.1.2.求f(z,y)=2+y+Ty在(ro,yo)=(1,2)处的偏导数1

第十二章 多元函数的微分 在这一章中, 我们将研究多个变量的函数或映射的基本性质. 在前一章中我们 已经研究过连续性了, 因此我们将研究多变量函数或映射的微分性质. 微分学的基 本方法就是对函数或向量值的函数作线性化, 用线性映射去作逼近. 本章大部分的 内容和一元函数相应的内容平行, 但有一些地方也有本质不同, 我们会在这些地方 着重强调说明. §12.1 方向导数和微分 在科学和技术问题中, 某个数量的值往往依赖于多个因素. 在数学上我们用多 元函数来表示这种数量. 为了研究它们, 一个初步的方法就是暂时只关注某一个因 素的变化. 从数学的角度来看, 就是先研究函数沿某个特定的方向如何变化, 即将 多元函数当成一元函数来研究. 在欧氏空间 R n 中, 所谓方向就是指某个单位向量. 设 u 为非零向量, u 的方 向是指单位向量 u/kuk. 两个非零向量 u, v 同向是指 u/kuk = v/kvk. 定义 12.1.1 (方向导数). 设 D 为 R n 中的开集, f : D → R 为 D 中定义的函 数. 对于 x 0 ∈ D, 以及 R n 中单位向量 u, 如果极限 limt→0 [f(x 0 + tu) − f(x 0 )]/t 存在, 则称 f 在 x 0 处沿方向 u 可导, 此极限称为 f 沿 u 的方向导数. f 沿方向 u 的方向导数记为 ∂f ∂u . 在 x 0 处, 此方向导数就是一元函数 ϕ(t) = f(x 0 + tu) 在 t = 0 处的导数, 它是函数 f 沿方向 u 的变化率. 特别地, 当 u = ei = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) (第 i 个位置为 1 的单位向量) 时, 又将 ∂f ∂u 记为 ∂f ∂xi , 称为 f 的第 i 个偏导数. 偏导数 ∂f ∂xi 又记为 fxi . 如果 fxi = ∂f ∂xi 仍然可导, 则记 fyixi = ∂ ∂yi ( ∂f ∂xi ) , fxiyi = ∂ ∂xi ( ∂f ∂yi ) , 称为 2 阶偏导数. 类似地可以定义高阶偏导数. 我们也使用形如 这样的记号: ∂ 2f ∂x2 i = ∂ ∂xi ( ∂f ∂xi ) , ∂ 2f ∂xi∂yi = ∂ ∂xi ( ∂f ∂yi ) , · · · . 根据偏导数的定义, 在对某个变量求导时, 可暂时将其余变量视为常数. 因此, 计算偏导数可以利用一元函数的各种求导方法. 例 12.1.1. 求 f(x, y) = xy 的 1 阶, 2 阶偏导数. 解. fx(x, y) = ∂f ∂x = ∂ ∂x(xy) = y, fy = x, fyx = 1, fxy = 1, fxx = fyy = 0. 例 12.1.2. 求 f(x, y) = √ x 2 + y 2 + xy 在 (x0, y0) = (1, 2) 处的偏导数. 1

2第十二章多元函数的微分解.直接计算表明afafry元(z,)+y,og(a,)=+rVr2+y2Vr?+y?因此有V5af(0f(1,2) =2V5+1.(1,2) =+2,or5y5例12.1.3.设（To,Yo,zo)ER3，求函数f(, y,2) = [(r - ro)2 + (y - yo)2 +(2 - 20)]-的偏导数.解. 记 r =[(- zo)2 +(y- yo)2 +(z-20)2]±, 则af.1Or1-T-To=-r3r同理，af-_y-oaf-_2-20dy-30z-73我们知道，导数是函数的变化率.对于一元函数来说，如果导数恒为零，则该函数无变化（常值函数）对于多元函数来说，我们有命题12.1.1.设函数f：R"→R的偏导数都恒为零，则f为常值函数证明.以二元函数为例设%=%=0.我们有ayf(r,y) -f(0, 0) =[f(r,y) - f(0,y)) +[f(0, y) -f(0, 0)]对上式右边括号中的项分别关于变量工和y应用一元函数的微分中值定理，可得af.aff(,y) -f(0,0) =(s,g)(- 0) +-(0, )(y - 0) = 0,or(9Oy即f(,9)=f(0,0).口需要注意的是，一般来说方向导数只反映函数沿特定方向的变化性质，例如方向导数的存在甚至不能保证多元函数的连续性，这和一元函数不同例12.1.4.研究如下函数的方向导数( r?y(t,y)(0,0),14+y2f(a,y) =0,(,y) = (0, 0)

2 第十二章 多元函数的微分 解. 直接计算表明 ∂f ∂x(x, y) = x √ x 2 + y 2 + y, ∂f ∂y (x, y) = y √ x 2 + y 2 + x. 因此有 ∂f ∂x(1, 2) = √ 5 5 + 2, ∂f ∂y (1, 2) = 2 5 √ 5 + 1. 例 12.1.3. 设 (x0, y0, z0) ∈ R 3 , 求函数 f(x, y, z) = [ (x − x0) 2 + (y − y0) 2 + (z − z0) 2 ]− 1 2 的偏导数. 解. 记 r = [ (x − x0) 2 + (y − y0) 2 + (z − z0) 2 ] 1 2 , 则 ∂f ∂x = − 1 r 2 · ∂r ∂x = − 1 r 2 x − x0 r = − x − x0 r 3 . 同理, ∂f ∂y = − y − y0 r 3 , ∂f ∂z = − z − z0 r 3 . 我们知道, 导数是函数的变化率. 对于一元函数来说, 如果导数恒为零, 则该函 数无变化 (常值函数). 对于多元函数来说, 我们有 命题 12.1.1. 设函数 f : R n → R 的偏导数都恒为零, 则 f 为常值函数. 证明. 以二元函数为例. 设 ∂f ∂x = ∂f ∂y = 0. 我们有 f(x, y) − f(0, 0) = [f(x, y) − f(0, y)] + [f(0, y) − f(0, 0)]. 对上式右边括号中的项分别关于变量 x 和 y 应用一元函数的微分中值定理, 可得 f(x, y) − f(0, 0) = ∂f ∂x(ξ, y)(x − 0) + ∂f ∂y (0, ζ)(y − 0) = 0, 即 f(x, y) ≡ f(0, 0). 需要注意的是, 一般来说方向导数只反映函数沿特定方向的变化性质, 例如方 向导数的存在甚至不能保证多元函数的连续性, 这和一元函数不同. 例 12.1.4. 研究如下函数的方向导数 f(x, y) =    x 2y x 4 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0).

3912.1方向导数和微分因为于在两个坐标轴上恒为零，因此于在（0,0）处的偏导数为零.取单位向量=(u1,2)，当u2≠0时，有1t3uu22-f(0,0) = ottui+tu2du口这说明在(0,0）处方向导数都存在.但f在（0,0)处不连续（习题）从上例可以看出，用方向导数来研究多元函数有一定的局限性，为了克服这种局限性，我们引进一个整体概念，定义12.1.2（微分).设D为R"中开集，f：D→R为多元函数，oED.如果存在线性映射L：R"→R，使得在附近成立f() -f(r0)=L(0) +o(ll-0l), (→0)则称于在ro处可微，L称为于在ro处的微分，也记为f(r)微分也称为函数f的线性化.微分学的基本思想就是对各种研究对象做线性化（以直代曲）：显然，当在°处可微时，也在o处连续进一步，我们有命题12.1.2(可微必可导)设于在处可微，则于在°处的方向导数都存在，并且有%f(0) = d(c0)(u),(12.1)du证明.设u为单位向量，根据题设，有f(r° + tu) - f(r) = L(tu) + o(Itull) = tL(u) + o(It), (t -→ 0)口这说明lim[f(ro+tu)-f(a0)/t=L(u)，即(12.1)式成立.特别地，当f在ro处可微时，偏导数fz（r0）都存在.记Vf(r)= (f(a),. fu(r),(12.2)称为f在r处的梯度.设u=uie=（ui,"，un）为单位向量，由（12.1）式可11=1得F%(a)=L(ue) -2uL(e)=Eufr,(r°)Ou=1i=1i=1利用R"中的标准内积，上式可写为f(a)= f() u.(12.3)Ou(2更一般地，我们有

§12.1 方向导数和微分 3 因为 f 在两个坐标轴上恒为零, 因此 f 在 (0, 0) 处的偏导数为零. 取单位向量 u = (u1, u2), 当 u2 6= 0 时, 有 ∂f ∂u(0, 0) = limt→0 1 t t 3u 2 1u2 t 4u 4 1 + t 2u 2 2 = u 2 1 u2 , 这说明 f 在 (0, 0) 处方向导数都存在. 但 f 在 (0, 0) 处不连续 (习题). 从上例可以看出, 用方向导数来研究多元函数有一定的局限性. 为了克服这种 局限性, 我们引进一个整体概念. 定义 12.1.2 (微分). 设 D 为 R n 中开集, f : D → R 为多元函数, x 0 ∈ D. 如 果存在线性映射 L : R n → R, 使得在 x 0 附近成立 f(x) − f(x 0 ) = L(x − x 0 ) + o(kx − x 0 k), (x → x 0 ) 则称 f 在 x 0 处可微, L 称为 f 在 x 0 处的微分, 也记为 df(x 0 ). 微分也称为函数 f 的线性化. 微分学的基本思想就是对各种研究对象做线性 化 (以直代曲). 显然, 当 f 在 x 0 处可微时, f 也在 x 0 处连续. 进一步, 我们有 命题 12.1.2 (可微必可导). 设 f 在 x 0 处可微, 则 f 在 x 0 处的方向导数都 存在, 并且有 ∂f ∂u(x 0 ) = df(x 0 )(u). (12.1) 证明. 设 u 为单位向量. 根据题设, 有 f(x 0 + tu) − f(x 0 ) = L(tu) + o(ktuk) = tL(u) + o(|t|), (t → 0). 这说明 limt→0 [f(x 0 + tu) − f(x 0 )]/t = L(u), 即 (12.1) 式成立. 特别地, 当 f 在 x 0 处可微时, 偏导数 fxi (x 0 ) 都存在. 记 ∇f(x 0 ) = ( fx1 (x 0 ), · · · , fxn (x 0 ) ) , (12.2) 称为 f 在 x 0 处的梯度. 设 u = ∑n i=1 uiei = (u1, · · · , un) 为单位向量, 由 (12.1) 式可 得 ∂f ∂u(x 0 ) = L (∑n i=1 uiei ) = ∑n i=1 uiL(ei) = ∑n i=1 uifxi (x 0 ). 利用 R n 中的标准内积, 上式可写为 ∂f ∂u(x 0 ) = ∇f(x 0 ) · u. (12.3) 更一般地, 我们有

4第十二章多元函数的微分命题12.1.3.设α：(a,b)→Rn为向量值函数，写成分量的形式为o(t) = (ri(t),..,rn(t)), te(a,b)设α(t)的每一个分量都在to处可导，且多元函数于在z°=α(to)处可微，则复合函数fo在to处可导，且(f oo)(to) =Vf(c) 0(t0)(12.4)其中o(to)=(i(to),...,(to).证明.由题设可知，存在常数C,使得在to附近成立Ilo(t)-α(t)≤Ct-t)由f在0=α(to)处可微可知f o.α(t) - f oo(t0) = Vf(r0) - [g(t) -o(t0)] +o(lo(t) -α(to)l)= Vf(r°) [o(t) -o(t')] +o(It -t°)口上式两边除以t-to并令t→to即得(12.4)式作为应用，我们可得到多元函数的微分中值定理定理12.1.4(微分中值定理).设D为R"中的凸域，函数f：D→R在D中处处可微.则任给,yED，存在ED,使得f()-f() =f(s) (-g),其中=+(1-)y,(0,1)证明.令o(t)=t+(1-t)y,由D为凸域可知当tE[0,1]时a(t)ED.对一元函数(t)=f。α(t)用微分中值定理可知存在E(0,1),使得(1)-(0)=()由(12.4)式可得(1) -((0) = Vf(s) · α'(0) = Vf(s) - (r-y)其中=(0)=+(1-)y.由f(a)=(1),f()=(0)可知欲证结论成立.从以上讨论中可以看到微分这个概念的优越性下面的结果给出了多元函数可微的充分条件.命题12.1.5.设多元函数f在ro附近存在偏导数．如果每一个偏导数都在o处连续，则f在°处可微

4 第十二章 多元函数的微分 命题 12.1.3. 设 σ : (a, b) → R n 为向量值函数, 写成分量的形式为 σ(t) = ( x1(t), · · · , xn(t) ) , t ∈ (a, b). 设 σ(t) 的每一个分量都在 t 0 处可导, 且多元函数 f 在 x 0 = σ(t 0 ) 处可微, 则复合 函数 f ◦ σ 在 t 0 处可导, 且 ( f ◦ σ )0 (t 0 ) = ∇f(x 0 ) · σ 0 (t 0 ), (12.4) 其中 σ 0 (t 0 ) = ( x 0 1 (t 0 ), · · · , x0 n(t 0 ) ) . 证明. 由题设可知, 存在常数 C, 使得在 t 0 附近成立 kσ(t) − σ(t 0 )k ≤ C|t − t 0 |. 由 f 在 x 0 = σ(t 0 ) 处可微可知 f ◦ σ(t) − f ◦ σ(t 0 ) = ∇f(x 0 ) · [ σ(t) − σ(t 0 ) ] + o ( kσ(t) − σ(t 0 )k ) = ∇f(x 0 ) · [ σ(t) − σ(t 0 ) ] + o(|t − t 0 |). 上式两边除以 t − t 0 并令 t → t 0 即得 (12.4) 式. 作为应用, 我们可得到多元函数的微分中值定理. 定理 12.1.4 (微分中值定理). 设 D 为 R n 中的凸域, 函数 f : D → R 在 D 中处处可微. 则任给 x, y ∈ D, 存在 ξ ∈ D, 使得 f(x) − f(y) = ∇f(ξ) · (x − y), 其中 ξ = θx + (1 − θ)y, θ ∈ (0, 1). 证明. 令 σ(t) = tx+ (1−t)y, 由 D 为凸域可知当 t ∈ [0, 1] 时 σ(t) ∈ D. 对一元 函数 ϕ(t) = f ◦ σ(t) 用微分中值定理可知存在 θ ∈ (0, 1), 使得 ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ 0 (θ). 由 (12.4) 式可得 ϕ(1) − ϕ(0) = ∇f(ξ) · σ 0 (θ) = ∇f(ξ) · (x − y), 其中 ξ = σ(θ) = θx + (1 − θ)y. 由 f(x) = ϕ(1), f(y) = ϕ(0) 可知欲证结论成立. 从以上讨论中可以看到微分这个概念的优越性. 下面的结果给出了多元函数 可微的充分条件. 命题 12.1.5. 设多元函数 f 在 x 0 附近存在偏导数. 如果每一个偏导数都在 x 0 处连续, 则 f 在 x 0 处可微.

912.1方向导数和微分5证明以二元函数为例，记z0=（T0.9o）：运用命题12.1.1中的证明方法，当(,y)→（o0)时，有afaff(r,y)-f(ro,yo)%(5. )(-20) +(0, ()(y - yo)ayofrof[%(r0, y0) + (1](±- 0) +(r0, y0) + o(1) ([(y-yo)Loyaf.af(0, %0)(z- 0) + (To, yo)(y - yo) + o((r- To, y- yo)l),Oy口这说明f在（o9o）处可微偏导数的连续性还可导出求导次序的可交换性定理12.1.6（求导次序的可交换性).设f：D→R为二元函数，（r0,9o)ED.如果二阶偏导数fry和fuz在（ro,yo）处连续，则fry(ro,yo)=fyr(to,yo)证明.对于充分小的k≠0,h≠0分别考虑函数p(y) = f(ro + h, y) - f(ro, y),() = f(,yo +k) -f(,yo)由微分中值定理，存在01,02E(0,1)，使得p(yo +k) -(yo) =y(yo +,k)k=[fg(ro + h, yo + 01k) - fy(ro, yo +0ik)]k= fry(ro + 0zh, yo + 0ik)kh.同理，存在3,04E(0,1)，使得(ro+h)-(ro)=fur(To+h,yo+k)hk易见，(o +k)-p(yo) = (ro +h)-(ro)这说明fry(ro+02h,o+0ik)=fyr(to+0h,yo+04k)口令k,h→0,由fay，fy在（to,yo）处连续即得欲证等式.上述结果对于多元函数当然也成立.设f：D→R为多元函数.如果f的直到k阶的各种偏导数都存在且连续，则称f为Ck函数，记为fECk(D).当k≥2时，Ck函数的偏导数与求导次序无关.如果对任意k≥1，均为Ck函数，则称f为无限次可导函数或光滑函数，记为fEC(D)

§12.1 方向导数和微分 5 证明. 以二元函数为例, 记 x 0 = (x0, y0). 运用命题 12.1.1 中的证明方法, 当 (x, y) → (x0, y0) 时, 有 f(x, y) − f(x0, y0) = ∂f ∂x(ξ, y)(x − x0) + ∂f ∂y (0, ζ)(y − y0) = [ ∂f ∂x(x0, y0) + o(1)] (x − x0) + [ ∂f ∂y (x0, y0) + o(1)] (y − y0) = ∂f ∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) + o ( k(x − x0, y − y0)k ) , 这说明 f 在 (x0, y0) 处可微. 偏导数的连续性还可导出求导次序的可交换性. 定理 12.1.6 (求导次序的可交换性). 设 f : D → R 为二元函数, (x0, y0) ∈ D. 如果二阶偏导数 fxy 和 fyx 在 (x0, y0) 处连续, 则 fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). 证明. 对于充分小的 k 6= 0, h 6= 0 分别考虑函数 ϕ(y) = f(x0 + h, y) − f(x0, y), ψ(x) = f(x, y0 + k) − f(x, y0). 由微分中值定理, 存在 θ1, θ2 ∈ (0, 1), 使得 ϕ(y0 + k) − ϕ(y0) = ϕy(y0 + θ1k)k = [ fy(x0 + h, y0 + θ1k) − fy(x0, y0 + θ1k) ] k = fxy(x0 + θ2h, y0 + θ1k)kh. 同理, 存在 θ3, θ4 ∈ (0, 1), 使得 ψ(x0 + h) − ψ(x0) = fyx(x0 + θ3h, y0 + θ4k)hk. 易见, ϕ(y0 + k) − ϕ(y0) = ψ(x0 + h) − ψ(x0), 这说明 fxy(x0 + θ2h, y0 + θ1k) = fyx(x0 + θ3h, y0 + θ4k). 令 k, h → 0, 由 fxy, fyx 在 (x0, y0) 处连续即得欲证等式. 上述结果对于多元函数当然也成立. 设 f : D → R 为多元函数. 如果 f 的直 到 k 阶的各种偏导数都存在且连续, 则称 f 为 C k 函数, 记为 f ∈ C k (D). 当 k ≥ 2 时, C k 函数的偏导数与求导次序无关. 如果对任意 k ≥ 1, f 均为 C k 函数, 则称 f 为无限次可导函数或光滑函数, 记为 f ∈ C∞(D).