代数几何讨论班备用稿 Hodge理论初级教程 2011
前言本讲义在Voi02,Voi03]，[CMP03]，Mainz大学讨论班教材《混合Hodge结构与奇点》及哥伦比亚大学Hodge理论讨论班笔记等文献的基础上进行了整理，对初学者难以理解的部分内容作细致的解读，并且增加了一些实例，帮助读者更好理解。为方便读者查阅相关概念或结论等，书后附有索引及参考文献，此外，每一章节末尾配有若干习题Hodge理论博大精深，要掌握好它绝非一朝一夕之事，事实上，本讲义目前所包含的内容只不过是整个Hodge理论中的冰山一角.这门课程对读者的微分几何基础有一定的要求我们默认读者已具备了一定的微分几何基础，如果读者需要重新回顾这方面的内容，可以参考[BT82][Che01][Hir76][Rha84]等经典教材讲义的安排大致与[Voi02，Voi03]主线相当，我们在第一章节罗列了所需要的大部分基础知识.VHS的相关课题因为涉及其他章节的知识，所以出于教学顺序的考虑，被拆分成两章来处理，MHS部分此次未能及时整理完成，只介绍了少量最基本的内容由于作者并非Hodge理论方面专家，这本讲义也是在学习的同时写成的，所以对该理论的认识难免有所偏颇且不够深刻，不可避免存在诸多错误，希望读者能够一一指出，今后将逐步修正，此外，因为时间仓促，有许多重要课题未能及时整理出来，一些有趣的计算实例也未能全部收入，文献收集尚欠完整等等，总之留下诸多遗憾，希望今后有机会能逐步完善它，作者在这里首先要感谢左康教授在相关研究中所给予的指导：其次感谢好友杜荣与作者进行了多次讨论，使作者对某些概念及结论有了更为准确深刻的理解。同时作者要感谢好友于飞、张通、叶飞等提供了许多重要的文献资料和有益的观点，最后，作者也十分感谢同事翟振华、谢兵永以及各位师弟对这门课程的支持陆俊2011年8月18日于华东师范大学数学系
目录目录第一章基础知识，11.1张量代数与空间结构11.2L?度量与微分算子..71.3复流形与全纯向量丛121.4格拉斯曼流形181.5复形与谱序列.22本章习题26第二章Hodge 结构282.1对偶定理...282.2Hodge分解定理.302.3Lefschetz分解定理3622.4Hodge指标定理..382.5Hodge结构41本章习题，46第三章49Hodge结构变分(I)3.1Kodaira-Spencer映射493.2局部系与Gauss-Manin联络513.353Kahler流形的稳定性，3.4周期映射与周期域..563.5Hodge 丛57本章习题60第四章整系数上同调类624.1闭链与闭链类624.2向量丛与陈类.664.3Abel-Jacobi映射69.4.474弱Lefschetz定理.4.5Lefschetz线束81本章习题88第五章混合Hodge结构初步.905.1混合Hodge结构..905.2对数deRham复形935.3混合Hodge层98本章习题.100第六章Hodge结构变分(II)101单值表示，6.1.1016.2Leray谱序列..1066.3超曲面的无限小变分.1116.4正规函数114本章习题..116参考文献118-ii-
第一章基础知识第一章基础知识1.1.张量代数与空间结构在这一节中，我们回顾向量空间上的张量代数以及度量结构。这些内容可以自然过渡到对一般流形及向量丛的整体性讨论上，设V是n维实向量空间，{ei"=1是它的一组基，设V*是其对偶空间，{e*i}"=1是相应的对偶基，即满足e*i(ei）=%V.-V&...V&V*...&V*T8中的元素称作（r.s）型张量V（相应地，V0）中的元素称为r阶反变张量（相应地，s阶协变张量）张量实际上只是向量和矩阵概念的直接推广，利用张量积，我们可诱导V的张量代数T(V) =@V.T≥0在很多情况下-比如处理缩并运算时，将V（相应地，Vo）中的元素视作V*（V）上的r（s）重线性函数会很方便.V包含两个重要的线性子空间，它们分别是对称空间Sr(V)= [r ar=a, Vo E S.)及反对称空间A'V = (α | o= sgn(o) -r Vo e St),这里S是{1,2,，r)上的r阶置换群，8gma）是置换α的符号；如果a=1r，那么规定oa := Vg-1(1) ...Vg-1(r).Λ"V中有如下元素 sgn(o).o(eir...&ei.)eii A...Aei :=GEST易知(ei^^ei,i<i<…<i≤n构成了^"V的一组基.我们可以诱导双线性映射（称作外积)A:A"V ×^*VAr+*V,即规定(ei A...Nei.)A(en AAejk):=eir A..Aei.Aejr A...Neje它满足结合律及以下的反交换律ΛW=(-1)rkWAU,WEA"V,WEAV外积给出了V的外代数A(V)=@A"V.r20-1-
第一章基础知识如前所述，Λ"V中的元素可以看作V*上的r重线性函数任取*1.，*EV*，我们有[ei (u*l) -+. eir(u*r)ei (u*) -.. ei2(u*r)ei A...Aei.(u*l,...,u*r)=三ei (u*l) .. ei,(u*r)特别地，我们有ein A...Aei,(e*i,...,e*r) = dh这里r是Kronecker符号，它的取值规定如下：如果i，..，i两两不同，且j1，·，j是前者的偶（相应地，奇）置换，那么=1（相应地，一1)；其余情形皆取值0例1.1.1在许多情形中，人们常会遇到2阶张量积-比如度量或复结构。2阶张量有许多种不同的看法（物理中称作“张量面面观”），在处理各种问题时如能灵活运用，将会使讨论大为简化(a）设EVo，写为=Sije*e*i（这里我们采用了指标求和记法，下同）.显然，也可以视作矩阵X=(Si)1<ijsn：X是（反）对称矩阵当且仅当ES2V（^2V).令(X - X*).(X+Xt), B=A=22易知A（相应地，B）是对称（相应地，反对称）矩阵，且X=A+B.用张量语言来说，$可以分解为对称张量和反对称张量之和(事实上，该分解是唯一的)，(b）任取EV，由缩并运算可给出线性映射: VV*,usije*i(u) -e*j.特别地，Φ(ei）=Sije*i，当然，我们也可以通过对第二个分量缩并得到另一线性映射。一般这两个映射不相同，除非是对称张量。反过来，给定V到V*的线性映射，自然确定了一个（0,2)型张量，如果X是可逆矩阵，设X-1=(s)1ijn（满足ssj=），则可构造(2,0)型张量n="ei&ejEv.类似地，我们有诱导的线性映射: V*V,w*ejei(w*)·ej特别地，重e*）=iei：容易验证重。亚=idy，亚。Φ=idv.有时我们称这两个映射为指标升降.(c)也可以看成是V上的一个配合（即双线性函数）《）：V×V→IR，使得(ei,ej）=Si(1≤i,j≤n)，如果是正定对称张量积（即矩阵X是正定对称矩阵)，那么等价于给出了V上的内积.此时我们显然有指标升降(d）设w=we?e*iEVl.我们类似可定义线性变换b：V-V及b：V*-→V*反过来，■这样的线性变换也确定了一个（1,1)型张量引理 1.1.1个假设=ije*ie*ieV给出了V上的内积，那么它诱导了V*上的内积(e*i,e*)) = 5)这里G=（s)1<ij<n是矩阵X=（Si）i<ij<n的逆）-2-