本科生基础课 复变函数讲义 华东师范大学数学系 2012
前言复变函数论主要研究复函数的微积分理论，它是一门非常优美的数学理论，产生了异常丰富的结果，复变函数论是许多重要学科的基础，比如代数几何、解析数论等等复变函数论从某种角度来讲，可以看作是将数学分析从实数情形推广到复数情形，因此很多地方具有极大的相似性，对初学者来说，较为容易掌握，但复变函数论也有其独特的一面，比如在复变函数论中，积分与微分的关系异常密切，数学分析中通常是利用导数来求积分，复变函数则相反，它是利用积分来求出导数。又比如复变函数的另一个重要课题就是研究多值函数的性质，这也是数学分析未能涉及的领域，复变函数对多值函数的研究，直接促使了黎曼曲面理论的发展一它是代数几何理论极为重要的基础.本讲义是在由庞学成等教授主编的华东师范大学教材《复变函数》的基础上完成的.这部讲义对原教材的教学顺序做了若干改动，试图简化部分教学内容，让主线更为突出.讲义的内容安排大致如下：第一部分介绍复数及复平面的初等性质：第二部分介绍复变函数的微积分学，第三部分介绍奇点理论以及残数的计算本讲义的写作得到了许多师生的支持与帮助，作者要在这里特别感谢文平同学为我整理了最初的讲稿电子版本一其工作量是非常巨大的.作者也同样感谢邢雪、董杰等等同学为我提供了许多有价值的文献资料，最后作者也要感谢徐长桃同学为我校对讲稿。本讲义成稿仓促，未及细改错误必定不少，诚感希望各位读者能够批评指正
目录目录第一章复数与扩充复平面11.1复数.11.2复平面21.33复数的表示1.3.1向量表示，31.3.2三角表示.3指数表示..41.3.31.4代数学基本定理51.5单位根，51.6复数列的极限61.7扩充复平面，771.7.1无穷远点.1.7.2球极投影81.8分式线性变换，891.8.1分式线性变换1.8.2保圆周性..10保交比性1.8.3111.8.4保边界性111.8.5保对称性121.8.6应用：区域变换13本章习题15第二章复函数与微积分162.1复变函数162.1.1初等单值函数，16初等多值函数..2.1.2172.1.3连续函数182.2解析函数.182.2.1可导函数与解析函数182.2.219柯西-黎曼条件.2.2.3实可微与复可微关系212.2.4在分式线性变换中的应用222.3复积分222.3.1复积分的定义232.3.2复积分的计算.242.3.3柯西积分定理.252.3.4柯西积分公式.27柯西导数公式，2.3.529-ii-
目录2.4复积分的应用302.4.1柯西不等式302.4.2刘维尔定理302.4.3代数学基本定理证明312.4.4均值公式..312.4.5最大模原理322.4.6许瓦兹引理332.5级数.332.5.1级数的基本性质332.5.2幂级数.352.5.3欧拉定理证明，362.5.4零点孤立性定理.372.5.5刚性定理.382.5.6双边幂级数392.5.7傅里叶级数40本章习题41第三章奇点与残数423.1奇点分类423.1.1孤立奇点.423.1.2无穷远点.443.1.3非孤立奇点45残数，3.2463.2.1有限奇点的残数，463.2.2无穷远点的残数..483.3残数定理49有界区域残数定理，3.3.149503.3.2无界区域残数定理3.4残数总和定理523.5辐角原理533.5.1对数导数的奇点与残数，533.5.2对数导数的积分543.5.3幅角增量，553.5.4辐角原理573.6儒歇定理573.7幅角原理与儒歇定理的应用593.7.1代数学基本定理另一证明.593.7.259许瓦兹引理另一证明3.7.3单叶性定理603.7.461保区域性定理3.7.5实系数方程在半平面内的根数，61-ili-
目录残数定理的应用3.863....+............................3.8.1三角有理函数的积分633.8.2有理函数的广义积分653.8.3加权有理函数的广义积分663.8.4定理3.8.1与定理3.8.2的证明及其他应用67双周期函数693.8.5本章习题71.;参考文献72-iv-