第十三章多元函数的积分本章讨论多元函数的积分问题.我们遵循的理论框架和第六章类似，主要的困难是，一元函数的积分区域是区间，而多元函数的积分区域就要复杂得多.由于两个变量的函数和更多变量的函数的积分理论并无本质差别，因此我们从R2中的积分开始讨论.多元函数的积分和一元函数的积分之间的差别还有：多元函数的积分有积分次序的交换问题，多元函数的积分变量替换公式的证明比一元函数积分的变量替换公式的证明要困难一些g13.1二重Riemann积分设[a,b],[c,d]分别为R中的区间,则I=[a,b]×[c,d]为R?中的矩形,其直径d(I)和面积α(I)分别为d(I) = V(b-a)2 + (d -c)2, o(I) = (b-a)(d -c)设这两个区间分别有分割Ti :a= To<a<...<Tm=b, T2: c= yo<yi<...<yn= d则直线r=i（0<i≤m）和y=yi（0≤j≤n）将I分成mn个小矩形Ij =[ri-1,ail ×[j-1,yi], 1<i≤m, 1≤j≤n.这些区间的分点连同小矩形称为I的一个分割，记为元=1×元2.分割π的模定义为元/=maxd(I),3dT140ab图13.1矩形的分割43
第十三章 多元函数的积分 本章讨论多元函数的积分问题. 我们遵循的理论框架和第六章类似, 主要的困 难是, 一元函数的积分区域是区间, 而多元函数的积分区域就要复杂得多. 由于两 个变量的函数和更多变量的函数的积分理论并无本质差别, 因此我们从 R 2 中的积 分开始讨论. 多元函数的积分和一元函数的积分之间的差别还有: 多元函数的积分 有积分次序的交换问题, 多元函数的积分变量替换公式的证明比一元函数积分的变 量替换公式的证明要困难一些. §13.1 二重 Riemann 积分 设 [a, b], [c, d] 分别为 R 中的区间, 则 I = [a, b] × [c, d] 为 R 2 中的矩形, 其直径 d(I) 和面积 σ(I) 分别为 d(I) = √ (b − a) 2 + (d − c) 2, σ(I) = (b − a)(d − c). 设这两个区间分别有分割 π1 : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, π2 : c = y0 < y1 < · · · < yn = d, 则直线 x = xi (0 ≤ i ≤ m) 和 y = yj (0 ≤ j ≤ n) 将 I 分成 mn 个小矩形 Iij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. 这些区间的分点连同小矩形称为 I 的一个分割, 记为 π = π1 × π2. 分割 π 的模 定 义为 kπk = max i,j d(Iij ). c d a b π1 π2 0 y x 图 13.1 矩形的分割 43
44第十三章多元函数的积分定义13.1.1（矩形中的Riemann积分).假设f：I→R为矩形I中定义的函数，如果存在实数A,使得任给=>0,均存在>0，当<时，有FEf(s)o(Iu) - Al<e, Ve lig,13则称f在I中Riemann可积或简称可积，A为f在I中的积分，记为1A=[f= /[[ f(x, y) drdy.图13.2二重积分注.(1)我们将f(Si)o(）称为关于分割的一个Riemann和，也记为S(f,元，E).如果可积，则积分可用极限表示f=lims(f,,)元→0(2)与一元函数类似，f在1上Riemann可积的必要条件是于为有界函数下面假设f为I中定义的有界函数，我们象对一元函数所做过的那样来讨论f可积的充分必要条件.记Mij=supf(p)，mij=inff(p)，并令pElS() = S(, f) =Mijo(Ig), s() = s(π, f) =mijo(Iig),iji.jS(元）和s(元）分别是f关于分割的Darboux上和与Darboux下和.与一元函数一样，称Wii = Mi-mi = sup f(p)- inf f(p)PEIPEI为f在小矩形Ii中的振幅f的上和与下和之差可以表示为S() - s(π) =wijo(Ig)i.j如果[a,b]的分割元是由通过添加分点得到,[c,d]的分割元是由2通过添加分点得到，则称[a,]×[c,d]的分割元=元×元是元=1×元2的一个加细.对于加细分割，下面的命题的证明和一元函数完全类似命题13.1.1.如果元是元的加细，则s(π)≤ s(元) ≤ S(π) ≤S(),即分割加细后下和不减，上和不增
44 第十三章 多元函数的积分 f I 图 13.2 二重积分 定义 13.1.1 (矩形中的 Riemann 积分). 假设 f : I → R 为矩形 I 中定义的函数, 如果存在实数 A, 使得任给 ε > 0, 均存在 δ > 0, 当 kπk < δ 时, 有 ∑ i,j f(ξij )σ(Iij ) − A < ε, ∀ ξij ∈ Iij , 则称 f 在 I 中 Riemann 可积或简称可积, A 为 f 在 I 中的积分, 记为 A = ∫ I f = ∫ ∫ I f(x, y) dxdy. 注. (1) 我们将 ∑ i,j f(ξij )σ(Iij ) 称为 f 关于分割 π 的一个 Riemann 和, 也记为 S(f, π, ξ). 如果 f 可积, 则积分可用极限表示 ∫ I f = lim kπk→0 S(f, π, ξ). (2) 与一元函数类似, f 在 I 上 Riemann 可积的必要条件是 f 为有界函数. 下面假设 f 为 I 中定义的有界函数. 我们象对一元函数所做过的那样来讨论 f 可积的充分必要条件. 记 Mij = sup p∈Iij f(p), mij = inf p∈Iij f(p), 并令 S(π) = S(π, f) = ∑ i,j Mijσ(Iij ), s(π) = s(π, f) = ∑ i,j mijσ(Iij ), S(π) 和 s(π) 分别是 f 关于分割 π 的 Darboux 上和与 Darboux 下和. 与一元函数 一样, 称 ωij = Mij − mij = sup p∈Iij f(p) − inf p∈Iij f(p) 为 f 在小矩形 Iij 中的振幅. f 的上和与下和之差可以表示为 S(π) − s(π) = ∑ i,j ωijσ(Iij ). 如果 [a, b] 的分割 π 0 1 是由 π1 通过添加分点得到, [c, d] 的分割 π 0 2 是由 π2 通 过添加分点得到, 则称 [a, b] × [c, d] 的分割 π 0 = π 0 1 × π 0 2 是 π = π1 × π2 的一个加 细. 对于加细分割, 下面的命题的证明和一元函数完全类似. 命题 13.1.1. 如果 π 0 是 π 的加细, 则 s(π) ≤ s(π 0 ) ≤ S(π 0 ) ≤ S(π), 即分割加细后下和不减, 上和不增
45g13.1二重Riemann积分推论13.1.2.对于的任何两个分割元l，元2均有s(）≤S(元2)证明设=1×元2，元=元×元2，令=U=(U)×(2U)则元既是元1的加细，又是元？的加细，因此s(πl)≤s(π)≤S() ≤S(π2)口这说明下和总是不超过上和对于有界函数，它的上和与下和也都是有界的.因此可以考虑S(f)= inf S(), s(f) = sups(),分别称S(f)，s(f)为在I中的上积分与下积分例13.1.1.如果f(a)=k为常值函数，则它在I上的任何Riemann和均为ko(I)，因此常值函数可积.同时，常值函数的上积分和下积分与其积分也相等如果k为常数，则易见于+可积当且仅当于可积，且S(f +k) = S(f) +ko(I), s(f +k) = s(f) + ko(I),我们有定理13.1.3(Darboux)：设f为I中的有界函数，则。S()=S()肥。()=s(0),证明.我们以上和为例证明第一个等式.因为于有界，根据刚才的讨论，不妨设0≤f≤M.任给s>0,存在分割元，使得S() <S(0) +2:设>0为充分小的正数,如果Iij=[ri-1,i] ×[3j-1,9]为分割元'的一个小矩形，则将它沿每一条边图13.3矩形的内缩向其内部平行地内缩距离，得（开）矩形=(ri1+,)(1+,)
§13.1 二重 Riemann 积分 45 推论 13.1.2. 对于 I 的任何两个分割 π 1 , π 2 , 均有 s(π 1 ) ≤ S(π 2 ). 证明. 设 π 1 = π1 × π2, π 2 = π 0 1 × π 0 2 , 令 π = π 1 ∪ π 2 = (π1 ∪ π 0 1 ) × (π2 ∪ π 0 2 ), 则 π 既是 π 1 的加细, 又是 π 2 的加细, 因此 s(π 1 ) ≤ s(π) ≤ S(π) ≤ S(π 2 ), 这说明下和总是不超过上和. 对于有界函数, 它的上和与下和也都是有界的. 因此可以考虑 S(f) = inf π S(π), s(f) = sup π s(π). 分别称 S(f), s(f) 为 f 在 I 中的上积分与下积分. 例 13.1.1. 如果 f(x) = k 为常值函数, 则它在 I 上的任何 Riemann 和均为 kσ(I), 因此常值函数可积. 同时, 常值函数的上积分和下积分与其积分也相等. 如果 k 为常数, 则易见 f + k 可积当且仅当 f 可积, 且 S(f + k) = S(f) + kσ(I), s(f + k) = s(f) + kσ(I). 我们有 定理 13.1.3 (Darboux). 设 f 为 I 中的有界函数, 则 lim kπk→0 S(π) = S(f), lim kπk→0 s(π) = s(f). 图 13.3 矩形的内缩 证明. 我们以上和为例证明第一个等式. 因为 f 有 界, 根据刚才的讨论, 不妨设 0 ≤ f ≤ M. 任给 ε > 0, 存在分割 π 0 , 使得 S(π 0 ) < S(f) + ε 2 . 设 δ > 0 为充分小的正数, 如果 Iij = [xi−1, xi ] × [yj−1, yj ] 为分割 π 0 的一个小矩形, 则将它沿每一条边 向其内部平行地内缩 δ 距离, 得 (开) 矩形 I δ ij = (xi−1 + δ, xi − δ) × (yj−1 + δ, yj − δ),
46第十三章多元函数的积分记Js=I-Urgi.j则Js是一些（闭）矩形之并，其面积α(Js）可以定义，且当S趋于零时，该面积趋于零.我们固定一个充分小的，使得E(Ja)<2M +1现在设元<8，对于分割元中的每一个小矩形来说，不难看出，要么它完全含于J。，要么它完全含于分割元的某个(开）矩形之内，二者必居其一（也可同时成立).因此，元的上和有下面的估计：S(f) ≤ S() ≤Mα(Js) + S(元)E≤M+S(f)+22M+1< S(f) +E.口这说明。5()=S(0)注读者可以思考一下，这里的证明和一元函数相应的证明有何不同？有了Darboux定理，下面判断可积性定理的证明和一元函数就没什么不同了定理13.1.4（可积的充要条件).设f为I中的有界函数，则下列条件等价：(1)f在I中Riemann可积.(2)于在I中的上积分和下积分相等，(3)limwio(ls)= 0.1元→01.(4)任给ε>0，存在I的某个分割元，使得S(π) - s() = wijo(Ii) <e.1.j对于二元函数，下面的结果也是成立的定理13.1.5(Riemann)设f为I中定义的有界函数，则f可积当且仅当任给E,n>0,存在I 的分割元，使得(Iu)<e[luEnwzn]因为闭矩形中的连续函数一定一致连续，我们立即得到推论13.1.6.设f为矩形I中的连续函数，则于是Riemann可积的和一元函数一样，我们引入零测集的概念来刻画可积函数
46 第十三章 多元函数的积分 记 Jδ = I − ∪ i,j I δ ij , 则 Jδ 是一些 (闭) 矩形之并, 其面积 σ(Jδ) 可以定义, 且当 δ 趋于零时, 该面积趋 于零. 我们固定一个充分小的 δ, 使得 σ(Jδ) < ε 2M + 1 . 现在设 kπk < δ, 对于分割 π 中的每一个小矩形来说, 不难看出, 要么它完全含于 Jδ, 要么它完全含于分割 π 0 的某个 (开) 矩形之内, 二者必居其一 (也可同时成立). 因此, π 的上和有下面的估计: S(f) ≤ S(π) ≤ Mσ(Jδ) + S(π 0 ) ≤ M ε 2M + 1 + S(f) + ε 2 < S(f) + ε. 这说明 lim kπk→0 S(π) = S(f). 注. 读者可以思考一下, 这里的证明和一元函数相应的证明有何不同? 有了 Darboux 定理, 下面判断可积性定理的证明和一元函数就没什么不同了. 定理 13.1.4 (可积的充要条件). 设 f 为 I 中的有界函数, 则下列条件等价: (1) f 在 I 中 Riemann 可积. (2) f 在 I 中的上积分和下积分相等. (3) lim kπk→0 ∑ i,j ωijσ(Iij ) = 0. (4) 任给 ε > 0, 存在 I 的某个分割 π, 使得 S(π) − s(π) = ∑ i,j ωijσ(Iij ) < ε. 对于二元函数, 下面的结果也是成立的. 定理 13.1.5 (Riemann). 设 f 为 I 中定义的有界函数, 则 f 可积当且仅当任 给 ε, η > 0, 存在 I 的分割 π, 使得 ∑ {Iij∈π|ωij≥η} σ(Iij ) < ε. 因为闭矩形中的连续函数一定一致连续, 我们立即得到 推论 13.1.6. 设 f 为矩形 I 中的连续函数, 则 f 是 Riemann 可积的. 和一元函数一样, 我们引入零测集的概念来刻画可积函数.
47g13.1二重Riemann积分定义13.1.2（零测集).设ACR2为平面点集：如果任给ε>0，存在至多可数个闭矩形{1]，使得AcU，且o(I) <e,i21i21则称A为零测集和一维的情形类似，我们有命题13.1.7.（1)有限点集均为零测集；(2)零测集的子集仍为零测集；(3)可数个零测集之并仍为零测集；(4)矩形的边界是零测集；(5)设Φ为[a,b中的一元可积函数，则其图像graph()=((r,Φ(r))e R2[E[a,b])为零测集证明.前三条的证明和一维的情形完全类似，我们略去，(4）设0为充分小的正数，将矩形分别内缩8距离和外展距离，得到两个矩形，原矩形的边界包含于这两个矩形之差，这两个矩形之差可以分为若干小矩形之并，当趋于零时，它们的面积之和趋于零，因此原矩形的边界为零测集，(5)任给>0,因为Φ为一元可积函数，故可取[a,矿的分割元:a=ao<ai<..<n=b使得wiAr<e,其中w,=M,-m为在小区间[i-1,司]中的振幅，M,和-mi分别是在该小区间中的上确界与下确界.因此[(a,o())le[i-1,rl) C[i-1,] x[mi,M]=I1≤i≤n.这说明graph(o) c UIii=1注意到o(I) =E(ai - ri-1)(Mi - m) = )wiAri<e1=1i=1i=l口这说明graph(）为零测集yt7T0Qb图13.4矩形的边界和可积函数的图像
§13.1 二重 Riemann 积分 47 定义 13.1.2 (零测集). 设 A ⊂ R 2 为平面点集. 如果任给 ε > 0, 存在至多可 数个闭矩形 {Ii}, 使得 A ⊂ ∪ i≥1 Ii , 且 ∑ i≥1 σ(Ii) < ε, 则称 A 为零测集. 和一维的情形类似, 我们有 命题 13.1.7. (1) 有限点集均为零测集; (2) 零测集的子集仍为零测集; (3) 可 数个零测集之并仍为零测集; (4) 矩形的边界是零测集; (5) 设 φ 为 [a, b] 中的一元 可积函数, 则其图像 graph(φ) = {(x, φ(x)) ∈ R 2 | x ∈ [a, b]} 为零测集. 证明. 前三条的证明和一维的情形完全类似, 我们略去. (4) 设 δ > 0 为充分小的正数, 将矩形分别内缩 δ 距离和外展 δ 距离, 得到两 个矩形, 原矩形的边界包含于这两个矩形之差, 这两个矩形之差可以分为若干小矩 形之并. 当 δ 趋于零时, 它们的面积之和趋于零, 因此原矩形的边界为零测集. (5) 任给 ε > 0, 因为 φ 为一元可积函数, 故可取 [a, b] 的分割 π : a = x0 < x1 < · · · < xn = b 使得 ∑n i=1 ωi∆xi < ε, 其中 ωi = Mi − mi 为 φ 在小区间 [xi−1, xi ] 中的振幅, Mi 和 mi 分别是 φ 在该小区间中的上确界与下确界. 因此 {(x, φ(x))| x ∈ [xi−1, xi ]} ⊂ [xi−1, xi ] × [mi , Mi ] = Ii , 1 ≤ i ≤ n. 这说明 graph(φ) ⊂ ∪n i=1 Ii . 注意到 ∑n i=1 σ(Ii) = ∑n i=1 (xi − xi−1)(Mi − mi) = ∑n i=1 ωi∆xi < ε, 这说明 graph(φ) 为零测集. 0 a b y x 图 13.4 矩形的边界和可积函数的图像