代数几何讨论班备用稿 曲面叶层简明讲义 华东师范大学数学系 2016
前言本讲义是在Brul5|及其他参考文献基础上整理而成，仅供本专业学生在相关讨论班学习中参考由于撰稿时间仓促且本人理解所限，文中尚有不少错误.因此诚愿希望读者能在本讲义的使用过程中及时向本人指出错误并提出宝贵建议陆俊2016年8月30日于韩国高等研究所
目录目录第一章 基本概念71.1叶状结构的定义，1.2叶状结构的经典例子21.3不变曲线6第二章叶状结构的奇点102.1奇点重数.102.2奇点解消112.317相切指标2.418Gomez-Mont-Seade-Verjovsky 指标2.5变分指标212.622Camacho-Sad指标2.723Baum-Bott指标2.8分界线定理252.9非多临界点272.10绕异性.29第三章31有理首次积分3.1Darboux定理313.2对数叶状结构与有理首次积分32第四章叶状结构的双有理几何354.1相对极小模型与极小模型。354.2没有极小模型的叶状结构.364.338Miyaoka有理性判则4.440Mcquillan定理4.5小平维数44第五章46叶状结构的分类研究5.1全纯向量场诱导的叶状结构465.2小平维数为0的叶状结构.485.3小平维数为1的叶状结构。495.4正则叶状结构.515.5一般型叶状结构51-第六章叶状结构的形变.52本章习题5359参考文献-ii-
第一章基本概念第一章基本概念在这一章中，我们将讨论微分方程中的叶化结构与向量丛的关系，以下如无特别声明，X均假设为光滑复射影曲面，当然，实际上，许多概念和结论并不需要对X有如此强的条件，具体内容可以参看[Brul5]1.1、叶状结构的定义设Tx是X的全纯切丛，2x是余切丛，L-1Tx是Tx的极大子线丛，8EHo(X,TxL)是全纯截面：我们将s称为X上的叶状结构（Foliation)，通常记为F.L-1称为叶状结构F的切丛（Tangent bundle)，记为TF.L称为F的余切丛（Cotangent bundle)，记为Ty．今后它也经常被称为F的典范丛（Canonicalbundle)，记作KF叶状结构也可以从局部上来描述，考虑X的仿射开覆盖[Ua)aEI，U的局部坐标为(aa,ya)，8α=slu。是U上的全纯向量场（只有孤立零点）.8α在局部上表示为aaA(to,ya)ClaSa+B(ra, ya)yaaxo这里la是TY的局部基.有时我们用aa+B(ra, a)ya(1-1)Va = A(ra: a) 2ra简单地代替sa.此时，（ua}aeI在交集UnU上满足转换关系Va=ga3Up,这里gag是线丛T的转移函数（满足lα=9alp)由于Ox是TxL的极大子线丛（由s诱导），所以s的零点集Z(s）是零维子概型.我们通常记为Sing(F)，称为F的奇点集（Singular set)从局部上看，即Sing(F)nUa = Z(sa).奇点集以外的点称为F的正则点(Regularpoint).一个叶状结构F给出了正合列0TTxIz()(NF)0这里Iz(s)是Sing(F）上的理想层，N是线丛，称为F的法丛(Normalbundle）Ny称为F的余法丛，对上述正合列做对偶，即得(1-2)0NY￥2xIz(KF)0.由陈数公式，我们有KX=KFNY(1-3)-1-
第一章基本概念通过上面的正合列，F也可以对偶地理解为某个1-形式截面W = (wa ealael E H'(X,2x NF),这里e是N的局部基，(1-4)Wo=B(ra,Ya)dra-A(ra,Ya)dya注1.1.1设Pa3)是N的转移函数（ea=geg).我们可以把(walaeI看成N的一组基.NY视为2x的子层-本节最后，我们讨论同一个曲面上具有两个不同叶状结构的情形：设X是光滑代数曲面，F,9是两个不同的叶状结构.设Wa=Aadaa+Badya,wa=Aadaa+Badyo分别是F,9对应的1-形式.我们可以定义有效除子D =AαB%-ABα=0l.D被称为相切除子（Tangencydivisor)，它有明确的几何意义：对pED,F,g在p处不是横截交，根据引理？？及其证明，实际上我们有命题1.1.1（[Bru97b],引理4)Ox(D)=NrKg=NgKF-注1.1.2D实际上可以直接从引理？？得到1.2叶状结构的经典例子下面两个例子是最常见的叶状结构例1.2.1 (纤维化)设f：X→B是代数曲面纤维化.令D(f) :=(F - Fred),F这里F跑遍所有奇异纤维，Fred是F的既约部分，我们有叶状结构KF = Kx/BOx(-D(f),NF = f*TB Ox(-D(f))它来自于微分场afdr+ afddf=ardda+%dy为了让奇点集是零维的，还需要除以某个公共因子，这个公共因子对应了除子D(F).特别地，当f是椭圆纤维化时，KF=f*(fwx/B)Ox((Fred -Fprime)-这里Fprime=F，m是F中分支重数的最大公因子.- 2 -