本科生基础课 初等数论讲义 华东师范大学数学系 2018
前言这本讲义尝试按照代数几何的观点来介绍初等数论的经典内容初等数论的重要内容之一就是研究低次数不定方程的整数解或者有理数解。从代数几何的观点看，就是研究底次平面曲线上的整数点或者有理点．我们希望以解方程为主线，逐步展开内容，将初等数论的各个知识点与方程联系统一起来．另一方面，我们还希望在教学过程中突出算法的重要性，比如辗转相除法、连分数方法、椭圆曲线的加法运算等等，这样可以让学生更好地掌握初等数论这门课程的精髓
目录目录第一章导读11.1一些记号说明11.2初等数论的主线一求解不定方程本章习题.3第二章4一次不定方程2.1整除与素数.42.2公因子和欧几里得算法.52.2.1公因子52.2.2欧几里得算法，72.3算术基本定理.92.3.19算术基本定理2.3.2应用(I)：最大公因子的素因子分解算法.102.3.3应用(II)：最小公倍数的素因子分解算法102.3.4应用(II)：一些无理数的判定.11132.3.5应用(IV)：素数个数无限的证明2.4一次不定方程，152.4.1二元一次不定方程的求解算法..152.4.2多元一次不定方程的求解算法，172.5同余式，202.5.1同余与完全剩余系202.5.223既约剩余类与欧拉定理。2.5.3些简单的应用25282.5.4欧拉函数的公式算法，2.6一次同余方程(组），302.6.1一元一次同余方程的求解算法，302.6.2多元一次同余方程的求解算法，332.6.3同余方程组与孙子定理：36本章习题39第三章二次不定方程413.1勾股方程及其算法，413.1.1数论证明。423.1.2解析几何证明423.1.3椭圆或双曲线上的有理点，43453.1.4应用：四次费马方程平方剩余及其算法3.2463.2.1勒让德符号与欧拉定理473.2.2应用(I)：威尔逊定理493.2.3应用（II)：模素数二次同余式求解算法503.2.4高斯引理.51-ii-
目录3.2.5二次互反律533.2.6应用（III)：梅森素数的判别.563.2.7雅克比符号....573.2.860般情形的二次同余式的求解算法，平方和问题3.3613.3.1费马-欧拉定理623.3.2高斯整数.633.3.3补充材料：华林问题简介663.4佩尔方程与连分数算法673.4.1连分数的基础知识，673.4.269渐近分数的逼近，3.4.3循环连分数723.4.4佩尔方程的求解算法75本章习题77第四章三次不定方程794.1椭圆曲线上的群结构794.280有理点的算法，4.3同余数.814.4费马大定理与椭圆曲线824.5圆锥曲线与二次不定方程.84本章习题85第五章86高次不定方程5.1高次同余方程的解数865.2Wolstenholme 定理.885.3原根与指标..895.3.1原根的存在性895.3.2指标.905.3.3应用(1)：威尔逊定理的新证明925.3.492应用(II)：正多边形尺规作图问题5.4k次剩余94本章习题95参考文献97-ili-
第一章导读第一章导读1.1一些记号说明为方便讨论，我们这里规定一些记号(1)整数集Z :={0,±1,±2,±3...}(2）正整数集Z+ :=(nezIn>0](3)非负整数集N := Z+ u (0).(4)有理数集Q=p,qEZ,q0q(5)取整函数：对任何实数，以[国表示不超过a的最大整数，它也称为a的整数部分比如[2.6] = 2,[0] = 0, [-2.3] =-3,[-3] =-3,[V2] = 1,[-V2] = -2.的小数部分定义为[α] := a - []容易看到,0≤a<1,因而[]≤a<[a]+1.1.2初等数论的主线一求解不定方程初等数论的主要研究对象就是整数和有理数，对它们的研究，主要是通过求解某些特殊的方程作为主线来展开的事实上，你会发现许多重要的经典数学课程都围绕着”解方程”这一主题比如解析几何就是研究方程的几何图形：线性代数则研究线性方程：抽象代数最早是从研究代数方程的可解性发展起来的（我们熟知的尺规作图问题等都与此有关...因此这本讲义也将按照求解方程的主线来介绍初等数论首先让我们回忆一下，在平面解析几何中，人们主要关心以下多项式方程在平面中所描绘的曲线，C: f(a,y) =0比如直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）等等定义1.2.1如果曲线C上的点p=（a,y）的分量a,y都是有理数，我们就称p是C的有理点.如果分量，y都是整数，我们就称P是C的整数点-1-