本科生基础课拓扑学讲义华东师范大学数学系2014
本科生基础课 拓扑学讲义 华东师范大学数学系 2014
前言本讲义是以曼克勒斯的《拓扑学基础教程》为蓝本所撰写的讲课稿。原计划是讲授点集拓扑和代数拓扑初步的内容.因为课时限制，目前只包含了点集拓扑的内容，并且也未能深入介绍点集拓扑中较深刻的结论.作者非常感谢学生仲国磊整理了本讲义的tex版本，其工作量是非常巨大的同时，作者也感谢好友瞿振华给我提供了这样的机会讲授（点集）拓扑学
前 言 本讲义是以曼克勒斯的《拓扑学基础教程》为蓝本所撰写的讲课稿. 原计划是讲授 点集拓扑和代数拓扑初步的内容. 因为课时限制, 目前只包含了点集拓扑的内容, 并且也 未能深入介绍点集拓扑中较深刻的结论. 作者非常感谢学生仲国磊整理了本讲义的tex版本, 其工作量是非常巨大的. 同时, 作者也感谢好友瞿振华给我提供了这样的机会讲授 (点集) 拓扑学
目录目录第一章导读：拓扑学简介101.1什么是拓扑学？1.2拓扑学的历史发源11.3拓扑学的分类2第二章3点集拓扑(I)：拓扑空间2.1拓扑空间与开集32.2闭集52.3拓扑空间的构造方法，72.3.17方法一：拓扑基..92.3.2方法二：序拓扑2.3.3方法三：积拓扑..112.3.412方法四：子空间拓扑2.3.5方法五：度量拓扑，14本章习题19第三章点集拓扑(II)：拓扑的基本性质203.1闭包与聚点203.224Hausdorff性质3.3连通性283.4紧致性343.5极限点紧与序列紧403.6连续映射.43连续映射与同胚433.6.13.6.2连续映射的构造.48523.6.3连续映射与连通性3.6.4连续映射与紧性553.6.5连续映射与度量57第四章60点集拓扑（III)：深入技巧4.1可数性公理604.263分离性公理，4.366Urysohn引理与Tietze扩张定理4.4Urysohn度量化定理674.5Tychonoff定理67参考文献68-ii-
目 录 目 录 第一章 导读: 拓扑学简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 什么是拓扑学？. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 拓扑学的历史发源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 拓扑学的分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 第二章 点集拓扑 (I): 拓扑空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 拓扑空间与开集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 拓扑空间的构造方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.1 方法一: 拓扑基. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.2 方法二: 序拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3.3 方法三: 积拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.4 方法四: 子空间拓扑. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.5 方法五: 度量拓扑 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 本章习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 第三章 点集拓扑 (II): 拓扑的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1 闭包与聚点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Hausdorff 性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 连通性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 紧致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 极限点紧与序列紧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 连续映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6.1 连续映射与同胚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6.2 连续映射的构造. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.6.3 连续映射与连通性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.4 连续映射与紧性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6.5 连续映射与度量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 第四章 点集拓扑 (III): 深入技巧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1 可数性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 分离性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3 Urysohn 引理与 Tietze 扩张定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Urysohn 度量化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Tychonoff 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 - ii -
第一章导读：拓扑学简介第一章导读：拓扑学简介1.1什么是拓扑学？在我们正式讲授这门课之前，先简单介绍一下拓扑学是什么，为了给拓扑学一个定性的解释，我们首先引入拓扑变换的概念：粗略地说，它是指图形的伸缩、弯曲（要求不撕裂，不粘合变换.所谓拓扑学(Topology)，就是研究图形在拓扑变换下保持不变的性质（也称橡皮几何学)这里顺便说些题外话，其实我们学过的很多几何学都可以看作是研究几何图形在某一类几何变换下保持不变的性质.这是一种重要的几何思想几何变换保持不变的性质对应几何学刚体变换保度量（角度、长度、面积）」欧氏几何仿射变换保共线关系等仿射几何分式线性变换保角，保圆周，保交比等反演几何(复平面)保交比等射影变换射影几何拓扑学拓扑变换保维数，保连通性等可微坐标变换1保持定向等微分几何我们继续回到拓扑学的话题上.拓扑学的终极目标是要将图形在同胚意义下分类.这里所谓的同胚，是指两个图形可通过拓扑变换彼此互变，实现这个自标是非常困难的事，实际上只有在少数的情况下才能解决分类问题.我们会在后面严格定义同胚的概念1.2拓扑学的历史发源这里例举一些拓扑学的发源问题例1.2.1（一笔画问题）平面上由顶点和边构成的图（Graph）能不能由一笔画成（即要求不重复且不遗漏地走遍所有的边和顶点）？这个问题最早由欧拉解决，是图论和拓扑学的经典发源问题之一，对一个图来说，一笔画问题并不依赖于图中的边是直线或者曲线，因而是一个拓扑问题-例1.2.2（凸多面体定理）设一个凸多面体的顶点数为E，校数为F，面数V.欧拉断言如下恒等式E-F+V=2.这也是早期拓扑学的经典结论之一，想象一下，如果我们把多面体的一个面挖掉并用力拉开这个口子，把整个多面体压扁到桌面上，那么多面体就变成了平面上的图.因此欧拉定理也可以看成关于图的拓扑定理-例1.2.3（四色问题）给地图上的各区域着色，要求相邻国家有不同的颜色.问至少需要几种颜色满足以上要求？这个问题的答案是：只需要4种颜色就足够了.这个问题首先被归结为图论问题，然后由计算机直接验证各类情形■-1-
第一章 导读: 拓扑学简介 第一章 导读: 拓扑学简介 1.1 什么是拓扑学？ 在我们正式讲授这门课之前, 先简单介绍一下拓扑学是什么. 为了给拓扑学一个定性的解 释, 我们首先引入拓扑变换的概念. 粗略地说, 它是指图形的伸缩、弯曲 (要求不撕裂，不粘合) 变换. 所谓拓扑学 (Topology), 就是研究图形在拓扑变换下保持不变的性质 (也称橡皮几何学). 这里顺便说些题外话. 其实我们学过的很多几何学都可以看作是研究几何图形在某一类几何变 换下保持不变的性质. 这是一种重要的几何思想. 几何变换 保持不变的性质 对应几何学 刚体变换 保度量 (角度、长度、面积) 欧氏几何 仿射变换 保共线关系等 仿射几何 分式线性变换 保角,保圆周,保交比等 反演几何(复平面) 射影变换 保交比等 射影几何 拓扑变换 保维数,保连通性等 拓扑学 可微坐标变换 保持定向等 微分几何 我们继续回到拓扑学的话题上. 拓扑学的终极目标是要将图形在同胚意义下分类. 这里所 谓的同胚, 是指两个图形可通过拓扑变换彼此互变. 实现这个目标是非常困难的事. 实际上只有 在少数的情况下才能解决分类问题. 我们会在后面严格定义同胚的概念. 1.2 拓扑学的历史发源 这里例举一些拓扑学的发源问题. 例 1.2.1 (一笔画问题) 平面上由顶点和边构成的图(Graph )能不能由一笔画成 (即要求 不重复且不遗漏地走遍所有的边和顶点)? 这个问题最早由欧拉解决, 是图论和拓扑学的经典发 源问题之一. 对一个图来说, 一笔画问题并不依赖于图中的边是直线或者曲线, 因而是一个拓扑 问题. 例 1.2.2 (凸多面体定理) 设一个凸多面体的顶点数为 E, 棱数为 F, 面数 V . 欧拉断言如 下恒等式 E − F + V = 2. 这也是早期拓扑学的经典结论之一. 想象一下, 如果我们把多面体的一个面挖掉并用力拉开这个 口子, 把整个多面体压扁到桌面上, 那么多面体就变成了平面上的图. 因此欧拉定理也可以看成 关于图的拓扑定理. 例 1.2.3 (四色问题) 给地图上的各区域着色,要求相邻国家有不同的颜色. 问至少需要几 种颜色满足以上要求? 这个问题的答案是: 只需要 4 种颜色就足够了. 这个问题首先被归结为图 论问题, 然后由计算机直接验证各类情形. - 1 -
第一章导读：拓扑学简介例1.2.4（莫比乌斯带）将一条矩形的纸条一端扭转180度，与其对边粘合，得到的纸环称作莫比乌斯带.它和圆柱有着完全不同的几何（拓扑）性质比如，它是单侧曲面：但是圆柱却是双侧曲面另外，想象莫比乌斯带上站有一个人（头朝上），他从某一点出发，沿着莫比乌斯带走一圈回到原点.那么你会发现他的头变为朝下方向.这在数学上叫做不可定向性.这种性质实际上反映了莫比乌斯带和圆柱之间的拓扑结构差异，后者只有平庸的拓扑结构，前者却又非平庸的拓扑结构，后面我们会进一步深入探讨它■拓扑学的真正奠基人是大数学家庞加莱，他开创了组合拓扑学，给出了著名的庞加莱对偶定理，并且引入了基本群的概念-拓扑学的重要数学对象之一-等等1.3拓扑学的分类按照传统的分类，拓扑学大致可以分为四个分支：点集拓扑、代数拓扑、组合拓扑、微分拓扑.点集拓扑来自于实数集和连续函数的性质（比如介值定理等）代数拓扑包含了同调论合同伦伦，其中同调论来源于欧拉凸多面体定理，同伦论则来源于庞加莱关于基本群的研究.组合拓扑实际上可以看成代数拓扑的一部分，来源于组合同调论.微分拓扑则研究局部微分性质和整体拓扑之间的关系，比如著名的高斯-博纳特公式拓扑学已经非常广泛地渗透到了各个数学分支里，比如，除了几何学之外，它也被深刻地应用到诸如泛函分析、概率统计、实变函数、微分方程等等理论中-2-
第一章 导读: 拓扑学简介 例 1.2.4 (莫比乌斯带) 将一条矩形的纸条一端扭转 180 度, 与其对边粘合, 得到的纸环称 作莫比乌斯带. 它和圆柱有着完全不同的几何 (拓扑) 性质. 比如, 它是单侧曲面. 但是圆柱却是 双侧曲面. 另外, 想象莫比乌斯带上站有一个人 (头朝上), 他从某一点出发, 沿着莫比乌斯带走一圈回 到原点. 那么你会发现他的头变为朝下方向. 这在数学上叫做不可定向性. 这种性质实际上反映 了莫比乌斯带和圆柱之间的拓扑结构差异. 后者只有平庸的拓扑结构, 前者却又非平庸的拓扑结 构. 后面我们会进一步深入探讨它. 拓扑学的真正奠基人是大数学家庞加莱. 他开创了组合拓扑学, 给出了著名的庞加莱对偶定 理, 并且引入了基本群的概念-拓扑学的重要数学对象之一-等等. 1.3 拓扑学的分类 按照传统的分类, 拓扑学大致可以分为四个分支: 点集拓扑、代数拓扑、组合拓扑、微分拓 扑. 点集拓扑来自于实数集和连续函数的性质 (比如介值定理等). 代数拓扑包含了同调论合同伦 伦, 其中同调论来源于欧拉凸多面体定理, 同伦论则来源于庞加莱关于基本群的研究. 组合拓扑 实际上可以看成代数拓扑的一部分, 来源于组合同调论. 微分拓扑则研究局部微分性质和整体拓 扑之间的关系, 比如著名的高斯-博纳特公式. 拓扑学已经非常广泛地渗透到了各个数学分支里. 比如, 除了几何学之外, 它也被深刻地应 用到诸如泛函分析、概率统计、实变函数、微分方程等等理论中. - 2 -