相似矩阵及二次型 第七节 正定二次型 一、惯性定理 二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小结思考题 帮助 返回
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为实变换，来研究一次型的标准形所具有的性质2国下质庆
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定理1（惯性定理）设有实一次型f = xT Ax,它的秩为r,有两个实的可逆变换x=Cy 及x = Pz使更f = kiyi + k,y? + ..+ k,y?(k, * ),及 f = z + +...+,z ( +0),则ki,.,k,中正数的个数与i,…,a,中正数的个数相等上页回下页
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、正（负）定一次型的概念定义1 设有实二次型 f(x)= xTAx,如果对任何x±0,都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f为正定二次型并称对称矩阵A是正定的如果对任何x0都有f(x）<0,则称f伪为负定二次型并称对称矩阵A是负定的例如f = x2 + 4y2 + 16z为正定一次型f = -xi - 3x2为负定一次型页回下页
2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T = = 例如
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH三、正（负）定一次型的判别定理2实二次型f=xTAx为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正证明设可逆变换x=Cy使f(x)= f(Cy)-kiy?i=1充分性设k,>0(i=1,,n)任给 x ±0,则y=C-x± 0,故f(x)=k,y >0.i-1上页下页回
证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i = 任给 x 0, y = C x 0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 = = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =