第十四章，曲线积分与曲面积分本章讨论欧氏空间R"中曲线以及曲面上的积分理论，包括曲线的长度，曲面的面积，以及曲线曲面上函数和向量值函数的积分，并讨论这些积分之间的联系s14.1第一型曲线积分我们从曲线的长度开始.在第七章第一节中，对于平面曲线α(t)=(ar(t),y(t),如果(t)，3(t)是关于t的连续可微函数，则利用折线逼近曲线的办法，我们定义了的长度为L(α) =Vr (t)]2 + [y(t)]2 dt现在考虑一般的情形.映射α：[α,B]→Rn称为一条参数曲线，我们仍然用折线逼近曲线的办法定义的长度.为此，任取[α,B】的分割π:α=to<ti<t2<...<tm=β相继用直线段连接曲线上的分点α(ti-1）与o(t)(1≤t≤m)得到的折线的长度为图14.1折L(; ) =lo(t) -α(ti-1)l/线逼近1=1如果这些折线的长度有上界，即sup llo(t) - o(ti-1)l < +o0,Ti=1则称是可求长曲线，其长度定义为mL(o) = sup llo(t:) - o(ti-1)ll元二利用三角不等式我们知道当区间[α，B】的分割加细时，折线的长度单调递增如果α(t)的每一个分量均为连续可微函数，则由第七章第一节的推导知α是可求长的，且长度可以表示为积分Io'(t)ldtL(a)注如果曲线不连续，则我们这里给出的曲线长度定义和直观上的长度观念不是一回事.例如，考虑这样的曲线：当t=0时(r(0),y(0)=(0,0)；当0<t≤1时，(r(t),y(t))=(t,1).按我们的定义，此曲线长度为2！从定义可以得到可求长曲线的下列性质：87
第十四章 曲线积分与曲面积分 本章讨论欧氏空间 R n 中曲线以及曲面上的积分理论, 包括曲线的长度, 曲面 的面积, 以及曲线曲面上函数和向量值函数的积分, 并讨论这些积分之间的联系. §14.1 第一型曲线积分 我们从曲线的长度开始. 在第七章第一节中, 对于平面曲线 σ(t) = (x(t), y(t)), 如果 x(t), y(t) 是关于 t 的连续可微函数, 则利用折线逼近曲线的办法, 我们定义了 σ 的长度为 L(σ) = ∫ β α √ [x 0(t)]2 + [y 0(t)]2 dt. 图 14.1 折 线逼近 现在考虑一般的情形. 映射 σ : [α, β] → R n 称为一条参数曲线, 我们仍然用折线逼近曲线的办法定义 σ 的长度. 为此, 任取 [α, β] 的 分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 相继用直线段连接曲线上的分点 σ(ti−1) 与 σ(ti) (1 ≤ t ≤ m), 得到 的折线的长度为 L(σ; π) = ∑m i=1 kσ(ti) − σ(ti−1)k. 如果这些折线的长度有上界, 即 sup π ∑m i=1 kσ(ti) − σ(ti−1)k < +∞, 则称 σ 是可求长曲线, 其长度定义为 L(σ) = sup π ∑m i=1 kσ(ti) − σ(ti−1)k. 利用三角不等式我们知道当区间 [α, β] 的分割加细时, 折线的长度单调递增. 如果 σ(t) 的每一个分量均为连续可微函数, 则由第七章第一节的推导知 σ 是可求 长的, 且长度可以表示为积分 L(σ) = ∫ β α kσ 0 (t)kdt. 注. 如果曲线不连续, 则我们这里给出的曲线长度定义和直观上的长度观念不 是一回事. 例如, 考虑这样的曲线: 当 t = 0 时 (x(0), y(0)) = (0, 0); 当 0 < t ≤ 1 时, (x(t), y(t)) = (t, 1). 按我们的定义, 此曲线长度为 2 ! 从定义可以得到可求长曲线的下列性质: 87
88第十四章曲线积分与曲面积分·如果为可求长曲线，则对任意[,] c[a,B],ir,]也是可求长的；·如果。为可求长曲线，则对任意E[Q,]，有L(o) = L(ol[(a,) + L(ol(,B),这是曲线长度的可加性，其证明仍然是利用三角不等式为了导出曲线可求长的充分必要条件，我们引入有界变差函数的概念定义14.1.1（有界变差函数).设f为定义在[α,B]上的函数.任给分割π: q=to<ti<t2<...<tm=β,记(f: ) =If(t:) -f(ti-1)li=1如果sup元u(f;元）有限，则称为[α,B]上的有界变差函数，它在[α,B]上的全变差记为βBV(f) = supv(f; ).a下列函数都是有界变差函数：。单调函数。如果为[α,阝]上的单调函数，例如单调递增，则对任意的分割元，有v(f;元) = lf(t) - f(ti-1)/ =(f(t) -f(ti-1))=f(B) -f(α)i=1i=1这说明BV(f) = If(β) - f(a)I4·Lipschitz函数.设If(a)-f(y)l<Ljr-yl.则(f; ) = If(t:) - f(ti-1)I ≤L(ti - ti-1) = L(β - α)i=1i=1因而于是有界变差函数·连续可微函数：根据微分中值定理可以知道，闭区间上的连续可微函数都是Lipschitz函数，因而是有界变差函数
88 第十四章 曲线积分与曲面积分 • 如果 σ 为可求长曲线, 则对任意 [γ, δ] ⊂ [α, β], σ [γ,δ] 也是可求长的; • 如果 σ 为可求长曲线, 则对任意 γ ∈ [α, β], 有 L(σ) = L(σ|[α,γ]) + L(σ|[γ,β]). 这是曲线长度的可加性, 其证明仍然是利用三角不等式. 为了导出曲线可求长的充分必要条件, 我们引入有界变差函数的概念. 定义 14.1.1 (有界变差函数). 设 f 为定义在 [α, β] 上的函数. 任给分割 π : α = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = β, 记 v(f; π) = ∑m i=1 |f(ti) − f(ti−1)|, 如果 supπ v(f; π) 有限, 则称 f 为 [α, β] 上的有界变差函数, 它在 [α, β] 上的全变 差记为 ∨ β α (f) = sup π v(f; π). 下列函数都是有界变差函数: • 单调函数. 如果 f 为 [α, β] 上的单调函数, 例如单调递增, 则对任意的分割 π, 有 v(f; π) = ∑m i=1 |f(ti) − f(ti−1)| = ∑m i=1 (f(ti) − f(ti−1)) = f(β) − f(α), 这说明 ∨ β α (f) = |f(β) − f(α)|. • Lipschitz 函数. 设 |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|, 则 v(f; π) = ∑m i=1 |f(ti) − f(ti−1)| ≤ ∑m i=1 L(ti − ti−1) = L(β − α), 因而 f 是有界变差函数. • 连续可微函数. 根据微分中值定理可以知道, 闭区间上的连续可微函数都是 Lipschitz 函数, 因而是有界变差函数
8914.1第一型曲线积分·如果g(r)为[a,B】上的Riemann可积函数，则f(z) = g(t)dt, e[a,B]是Lipschitz函数，因此也是有界变差函数.可以证明，有界变差函数必为两个单调递增函数的差.关于有界变差函数的进一步讨论请参见本章附录（即最后一节).定理14.1.1(Jordan).曲线α(t)可求长当且仅当它的每一个分量均为有界变差函数证明.设α(t)=(ri(t),,n(t)可求长，则任给[α,的分割元，有v(T;元) = /r;(t) - r;(ti-1)/≤ [o(ti) -o(ti-1)l ≤L(o),j=1j=1这说明i(t)为有界变差函数.反之，如果每一个工（t）都是有界变差函数，则mZIlo(t) -o(tj-1)IlL(α;) =j=1T≤(ri(t,) -i(tj-1)I+...+n(t) -n(tj-1)D)j=1T(r;)≤EV(r)1i=1 口因此α(t)是可求长的以下总是假设曲线α是可求长的对tE[α,B]，定义s(t) = L(ola,t),则s(t)为单调递增函数，称为α(t)的弧长函数，并且s(t2) -s(ti) = L(ol(t1,ta), ti ≤t2因此,如果t2>ti,s(t2)=s(t1),则o(t)在[t1,t2)上取常值.如果(t)不在任何区间上取常值，则s(t)为严格单调递增函数当α(t)为可求长的连续曲线时，s(t)也是连续函数（见本章附录).当α(t)不在任何区间上取常值时，s(t)是参数t的连续的严格单调递增函数，从而可逆，其逆记为t=t(s):t(s) : [0, L(α)] → [α, β]
§14.1 第一型曲线积分 89 • 如果 g(x) 为 [α, β] 上的 Riemann 可积函数, 则 f(x) = ∫ x α g(t)dt, x ∈ [α, β] 是 Lipschitz 函数, 因此也是有界变差函数. 可以证明, 有界变差函数必为两个单调递增函数的差. 关于有界变差函数的进 一步讨论请参见本章附录 (即最后一节). 定理 14.1.1 (Jordan). 曲线 σ(t) 可求长当且仅当它的每一个分量均为有界变 差函数. 证明. 设 σ(t) = (x1(t), · · · , xn(t)) 可求长, 则任给 [α, β] 的分割 π, 有 v(xi ; π) = ∑m j=1 |xi(tj ) − xi(tj−1)| ≤ ∑m j=1 kσ(tj ) − σ(tj−1)k ≤ L(σ), 这说明 xi(t) 为有界变差函数. 反之, 如果每一个 xi(t) 都是有界变差函数, 则 L(σ; π) = ∑m j=1 kσ(tj ) − σ(tj−1)k ≤ ∑m j=1 ( |x1(tj ) − x1(tj−1)| + · · · + |xn(tj ) − xn(tj−1)| ) = ∑n i=1 v(xi ; π) ≤ ∑n i=1 ∨ β α (xi). 因此 σ(t) 是可求长的. 以下总是假设曲线 σ 是可求长的. 对 t ∈ [α, β], 定义 s(t) = L(σ|[α,t]), 则 s(t) 为单调递增函数, 称为 σ(t) 的弧长函数, 并且 s(t2) − s(t1) = L(σ|[t1,t2]), t1 ≤ t2. 因此, 如果 t2 > t1, s(t2) = s(t1), 则 σ(t) 在 [t1, t2] 上取常值. 如果 σ(t) 不在任何区 间上取常值, 则 s(t) 为严格单调递增函数. 当 σ(t) 为可求长的连续曲线时, s(t) 也是连续函数 (见本章附录). 当 σ(t) 不 在任何区间上取常值时, s(t) 是参数 t 的连续的严格单调递增函数, 从而可逆, 其逆 记为 t = t(s): t(s) : [0, L(σ)] → [α, β].
90第十四章曲线积分与曲面积分这时，α(t)=a(t(s))又可以看成关于s的参数曲线，我们将s称为弧长参数当(t）为连续可微曲线，且(t)在任何区间上不恒为零（例如，处处非零）时，上一段的讨论对α(t)完全适用，此时s(t)='(t)l或ds= (t)dt现在我们考虑可求长曲线上有界函数的积分，设f是定义在上的有界函数,即对任意(t),f(α(t))是定义好的实数。任给[α,] 的分割元,取SE[ti-1,t](1<i<m),考虑和mf(o(E)Asi,i=1其中△si=s(ti)-s(ti-1).如果极限mlim Zf(o(s)Ass存在且与$)的选取无关，则称此极限为f在α上的第一型曲线积分，记为[ fds=lf(o(s)Asi:1元-→0台1当f=1时，第一型曲线积分也就是曲线的长度第一型曲线积分的物理意义可如下理解：已知某线状物质的密度函数p，则物质的质量就是p的曲线积分，当曲线的弧长参数存在时，第一型曲线积分可以转化为通常的Riemann积分：fds:f(o(s))ds;如果(t)为（分段）连续可微曲线，则f在α上的第一型曲线积分可以写为(例如于连续时）：f(o(t)l (+)ldt.fds=一般地，第一型曲线积分是所谓Riemann-Stieltjes积分的一种特殊情形，请参看本章最后一节
90 第十四章 曲线积分与曲面积分 这时, σ(t) = σ(t(s)) 又可以看成关于 s 的参数曲线, 我们将 s 称为弧长参数. 当 σ(t) 为连续可微曲线, 且 kσ 0 (t)k 在任何区间上不恒为零 (例如, 处处非零) 时, 上一段的讨论对 σ(t) 完全适用, 此时 s 0 (t) = kσ 0 (t)k 或 ds = kσ 0 (t)kdt. 现在我们考虑可求长曲线上有界函数的积分. 设 f 是定义在 σ 上的有界函 数, 即对任意 σ(t), f(σ(t)) 是定义好的实数. 任给 [α, β] 的分割 π, 取 ξi ∈ [ti−1, ti ] (1 ≤ i ≤ m), 考虑和 ∑m i=1 f(σ(ξi))∆si , 其中 ∆si = s(ti) − s(ti−1). 如果极限 lim kπk→0 ∑m i=1 f(σ(ξi))∆si 存在且与 {ξi} 的选取无关, 则称此极限为 f 在 σ 上的第一型曲线积分, 记为 ∫ σ f ds = lim kπk→0 ∑m i=1 f(σ(ξi))∆si . 当 f = 1 时, 第一型曲线积分也就是曲线的长度. 第一型曲线积分的物理意义可如下理解: 已知某线状物质的密度函数 ρ, 则物 质的质量就是 ρ 的曲线积分. 当曲线 σ 的弧长参数存在时, 第一型曲线积分可以转化为通常的 Riemann 积 分: ∫ σ f ds = ∫ L(σ) 0 f(σ(s))ds; 如果 σ(t) 为 (分段) 连续可微曲线, 则 f 在 σ 上的第一型曲线积分可以写为 (例如 f 连续时): ∫ σ f ds = ∫ β α f(σ(t))kσ 0 (t)kdt. 一般地, 第一型曲线积分是所谓 Riemann-Stieltjes 积分的一种特殊情形, 请参 看本章最后一节
914.1第一型曲线积分91tyT232例14.1.1.设曲线g是椭圆=1在第一象限n262内的部分，计算积分I=ryds.解.α的参数表示为图14.2椭圆(t) = (a cost,bsint), t e [0, 亦/2].因此Il'(t)l= Va2 sin? t + 62 cos2 t积分为acost.bsint.Va?sin?t+b2cos?tdtIa2 + 6262 α2absin 2tcos2tdt+222α2 + 6262 - a2ab-udu422aba?+ab+623a+b例14.1.2.设是球面2++22=a2被平面+z=a所截出的圆，计算积分rzds解先求的方程：以z=a代入球面方程得U152++(a-)=2图14.3截面圆整理后成为( - a/2) + y? /2 = (a/2)?用参数表示为a:aana号sint, 2(t)=号-号cost, te[0,2]r(t)=号+号cost, y(t) =V2因此Ilo'(t)ll = (- asint/2) + (a cost/V2)2 + (asint/2)二V
§14.1 第一型曲线积分 91 b 0 a y x 图 14.2 椭圆 例 14.1.1. 设曲线 σ 是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 在第一象限 内的部分, 计算积分 I = ∫ σ xyds. 解. σ 的参数表示为 σ(t) = (a cost, b sin t), t ∈ [ 0, π/2 ] . 因此 kσ 0 (t)k = √ a 2 sin2 t + b 2 cos2 t , 积分为 I = ∫ π 2 0 a cost · b sin t · √ a 2 sin2 t + b 2 cos2 t dt = ab 2 ∫ π 2 0 sin 2t √ a 2 + b 2 2 + b 2 − a 2 2 cos 2t dt = ab 4 ∫ 1 −1 √ a 2 + b 2 2 + b 2 − a 2 2 u du = ab 3 a 2 + ab + b 2 a + b . a a a 2 a 2 0 z x 图 14.3 截面圆 例 14.1.2. 设 σ 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 被平面 x+z = a 所截出的圆, 计算积分 ∫ σ xzds. 解. 先求 σ 的方程: 以 z = a − x 代入球面 方程得 x 2 + y 2 + (a − x) 2 = a 2 , 整理后成为 ( x − a/2 )2 + y 2 /2 = ( a/2 )2 , 用参数表示为 x(t) = a 2 + a 2 cost, y(t) = a √ 2 sin t, z(t) = a 2 − a 2 cost, t ∈ [0, 2π]. 因此 kσ 0 (t)k = √( − a sin t/2 )2 + ( a cost/√ 2 )2 + ( a sin t/2 )2 = a √ 2