第一章基础知识2上的黎受内积以及体积元1Vol :VGeiA...Aen.这里G=det(gig)1<ij<n今取整体截面α,βEA(X)，利用上述黎曼内积可定义X上的函数(a, β) :X R, a-(αa,βa),这里αz(β）指α(B)在点处对应的形式.这样，我们可结合积分运算定义所谓的L2度量(1-4)(α, β)L2 :(α, β)Vol由引理1.1.2.我们有引理 1.2.1Hodge*算子诱导了自然同构* : A(X) - A"-k(X).使得对任何a,βEA(X)，使得对任何aEX都有(an,β)Vola=β*or.Hodge算子给出了自然同构*：2兰2双-k，现在式(1-4)也可以写为B^*α(α, β)L2 :=利用Hodge算子，我们进一步可定以所谓的余微分算子d*:=(-1)*-1 d*: Ak(X) → Ak-1(X)由上面的引理，d*=（-1)nk+n+1*d*.引理1.2.2设QEAk-1(X),βEA(X)我们有(1) d*d* = 0,(2) (a, d*β) L2 = (da, 3)L2,(3) Imd n Kerd* = (0), Imd* n Kerd = (0),证明(1)对任何EA(X),有d*d*= (-1)k-1 *-1 d*(d*) = (-1)k-1 *-1 d *(-1) *-1 d*)= -*-1 dd *= 0.(2)d(α△*β)=dα^*β+(-1)k-1α^d*β.对上式两边取积分，则左边等于Jxd(α△*β)=0,右边等于/ da△*β+/ (-1)k-la^*β=(da,B)L2 +(-1)k-1 / α^(-1)* d*β=(da, β)L2 -a^*d*β=(da,β)L2 - (a, d*β).-8-
第一章基础知识这就证明了(2)。(3)设αEAk(X),使得daEKerd*，即d*da=0.于是(da,da)=（a,d*da)=0.这就推出da=0,即ImanKerd*={0].同理可证另一关系式.-注1.2.1考虑复化丛2k.c=2kC.由引理1.1.4,Hodge*算子可以自然延拓其上.具体言之，对任何α,βEA(X)，(a,β)延拓为2xc上的Hermite度量，我们有(ar,Ba)Vol=aaA*Br,VaEX.利用Hodge算子，我们可以进一步定义著名的拉普拉斯算子Ad := dd* + d*dKer△a中的元素称为△-调和形式命题1.2.1设Q,βEA(X)，那么我们有(1)(自伴性)(α,△aB)L2 =(Ada, β)L2,(2) *△d = △d*,(3) (a, da)L2 = (da, da)L2 + (d*a, d*)L2,(4) Ker△d = Kerd n Kerd*.证明(1)和(3)是引理1.2.2(2)的直接推论注意到*da=*dda+*d*da=(-1)nk+n+1 *d*d*α+(-1)*+ld*da.另一方面a*a= dd**a+ dd*a=(-1)nk+1d*d**α+(-1)nk+n+1*d*d*a.由此即得(2).由拉普拉斯算子的定义，KerdnKerd*CKer△d.又由(3)，则得Ker△dKerdnKerd*18设X=Rn的坐标（r1,，n）：它具有标准常数度量ds2=例1.2.1da.容易计算i=1Z1- a .. . di..d*(fdei^..^dai)=-)Orik=1这里dai表示去掉项dai：因而由直接计算可知（留给读者验证），对w=）frda有[/=gw=-Zlda(1-5)11a?今取n=3详细计算各阶微分式的微分与余微分运算.我们设√：=（，，最）是梯度算子，da = (dri, da2, da3).(1)设f是光滑函数，则df=Vfda,d*f=0(2)设A=Aidr1+A2da2+Agda3=Ada,这里A=(A1A2,A3).我们有dA=(V×A)1da2^dr3+(V×A)2da3Adr1+(×A)3daiAda2-9-
第一章基础知识此处×A是旋度，也记作curlA.进一步0A+2A2+0Aa=V.Ad*A:Oa1oa2ar3此处√·A是散度，也记作divA.(3)设B=Bid2^da3+B2dr3^dri+Bgda^dr2则dB=Bdi^dr2dr3.另—方面d*B=(V×B)1 da1+(V×B)2da2+(V×B)3 dr3(4)设C=pdai^da2^d3.显见dC=0.此外d*C=-(V)dr2dg-(V)2da3 dai-(V)3 did2.-(5)利用d?=0及d*2=0,可得经典的向量分析公式V×Vf=0以及V.×A=0.上面讨论的诸算子也可以过渡到一般的向量丛上，设E和F是X上（实或复的)Co向量丛,rk(E)=P,rk(F)=q.设P：Co(E)→Co(F)是E和F的C整体截面空间之间的(R或C)线性映射.考虑X的局部坐标邻域U，其坐标为（a1，.…·，an)），使得E和F限制在U上是平凡的.这样，P在U上可以局部写为P(α1,..·，Qp）=（βi，."，βg）如果这里的分量β,可以写为如下形式，那么我们就称P是k阶微分算子：dajBi-PlajaI.j这里系数Pl.ii是cα的；当|I>k时，皆为零；而当|I=k时至少有一项非零，易知这一定义不依赖于向量丛的标架坐标选取以及底流形局部坐标的选取设a=ZPias n1|=k考虑矩阵pk=(Pk)1<i<p,1<j<g我们关心的一个问题是：在向量丛的标架变换以及底流形局部坐标变换下，Pk按何种规律变化由于P只关心阶数最高的部分，因此在任何一种变换下，我们可以扔掉所有的低阶项，只保留最高阶的项.当底流形坐标变换时，P的变化取决于是的变化，而后者（在扔掉低阶项后）等同于ShTu的变化规律，这里STu是局部切丛的k次对称积.当向量丛标架变换时，P的变化规律等同于Hom(E,F）的变化规律（在扔掉低阶项后).具体的验证留给读者完成因此Pk的这种局部变换规律自然诱导了Hom(EF)SkTx上的一个截面aP，我们称之为算子P的符号(Symbol).显然，对VaEX，我们也可以将apa视为k次齐次映射OP,：2x,→Hom(E，F).进一步，如果对任何非零微分形式αaE2x,a，Op,a(α）：E→Fr都是单射，那么我们称P是椭圆微分算子例1.2.2设E=F=2%，考虑二阶微分算子p.ofP()=EPoVEA(X)[]≤2-10-
第一章基础知识此时P2=，它对应Hom(E,F)S?Tx中的截面EPuroror4.eaaop=Pu.oauonu,o任取α亡hidai，则由缩并计算可知i=1OP,a(a)(f) = Pu,v(r)hu(a)h,(r)f(r).u,U请注意，此时Hom(Er，F）只是数乘映射.由α及a的任意性可知，P是椭圆算子当且仅当上面的二次型Pu,huh是恒正定的(或负定的)亦即矩阵（Pu)1<u,u<n恒正定的（或负定的)：■u,v例1.2.3设X=R2是二维空间，E=F=2X，拉普拉斯算子△d是2阶微分算子(1)当k=0时，对任意fEA°(X)，有△af=-(+)：由上例的讨论，对任意α=ada+bdy,有ap(a)(f)=-(a?+b2)f.因而△d是椭圆的(2）当k=1时，对任意w=fda+gdyEA(X),△dw=（Aaf)da+（△ag)dy.此时系数矩阵Ad opk0Ad对任何a=ada+bdy0-(a2 + 62)op(α) :0(a2 + b2),因此对w=fda+gdy,有p(α)(w)=-(a2+b2)w(3)当k=2时，对任意w=fda^dyEA2(X),△aw=(△af)dr^dy.类似k=0,1的情-形,我们有 ap(α)(w)=-(a2+b2)w,对 Vα=adz+bdy.上例所描述的现象并非偶然，实际上我们有以下普遍结论（留给读者验证)。命题1.2.2设△d是X上黎曼度量g对应的拉普拉斯算子，则△d的符号可写为(α)(w) =-Ialw, VαE2x, VwE A*(X)这里al是X的函数，由Ilαall=(Q，α）定义证明这是一个局部问题，注意到△的2阶偏导项的系数中不出现度量的导数，因此不失一般性，我们可考虑标准常度量情形.设w=frdal.由式(1-5)，即1=gZaldr.Aw =-Or?i.1立得所需结论当然读者也可以按如下方式得到上述结论.首先有du-ZoldaniAdatOfl * (dari A da1).*u=D%Orriii,l-11-
第一章基础知识因此+ld* d=++ d +(da dan),OaiOrkk,i,1类似地，d*-ld*w=fidak^*-1(dr; ^*dan).Or;orkk,i.1于是有(*(dk *(di den) dk *(d *dan)Aw= (-1)c..1计算上式右边的项再次得到式（1-5)-如果向量丛E也具备度量的话，那么我们显然也能够定义Co（E）上两个截面α，β的L?度量等等。今设E,F都有度量，且P：C(E）一→C(F)是微分算子，如果存在另一个微分算子P*:C(F)→C(E),满足(α,Pβ)L2 = (P*α,β)L2, VαECo(F), βEC(E)那么我们称P*为P的相伴算子，前面已经看到dd*是相伴的，而△则是自伴算子本节最后将陈述一个关键性的定理定理1.2.1(Demailly，1966)设P：E一F是紧流形上的椭圆微分算子，EF具备度量且有相同的秩，则(1)核KerPCC(E)是有限维的,(2)像P(Cα(E))CCα(F)是余维数有限的闭子空间，(3)在L2度量下有正交直和分解C℃(E)=KerPP*(C(F))1.3复流形与全纯向量丛设X是带有近复结构J:Tx→Tx的流形。复化切空间诱导了分解Tx.C=T°@Tl，从而也诱导了对偶分解2x,c=21021我们记2xc：=^2x.c：上面的分解也进一步诱导了如下分解OP.9:=APO1090.2x.c = opa,p+q=如果X是n维复流形，吃是复坐标，那么X上的函数fe20.0有微分运算df=af+f，这里of :=off :fdzi,-dzi20元oziif全纯当且仅当f=0.和百算子也可以自然诱导到（p,9)次形式以及k次微分形式上，此处不再一一赞述，我们有如下熟知的结论-12-