第一章基础知识进一步，它也诱导了"V*上的内积(e*iA...Aeir,etiA...Ne*w):=det(tij.)i<t,s<k.特别地，(e*l ^...Λe*n,e*l^..Λe*n)=detG.引理1.1.2在引理1.1.1的条件下，令1Vol =.*....N.VdetG那么对任何αEΛ"V*，存在唯一的E^"-rV*，使得对任何βEΛ"V*都有(1-1)(α, β)Vol = β A这样的记为*α，因此我们有自然同构*：^"V*-→^"-V*证明月不失一般性，我们假设[e*1"-1是V*在给定内积下的一组标准正交基.这样Vol=e*1^..^e*.我们定义*(e*i....Ae-):=sgn(i...irji...jn-r)A...Ae*in-"(1-2)这里i..i及.<jn-且its（≤s≤,ltn-r)以下验证这样定义的*满足式(1-1).不失一般性，设a=e*iN..Ne*,β=e*A...ne*ur于是有I e*l N... Ne*n, (i ...ir) = (ul...ur),(α, β) Vol =1 0,(i -ir) + (ul*++ur)以及(e* ANe*n, (i ..ir) = (uur),βΛ*α:( 0,(i....i)+(u...ur)最后验证唯一性。设满足式（1-1)，则β^（一）=0,因而由β的任意性推知=上述Vol称体积元，*称为Hodge算子.后者是三维向量叉积概念的推广。它们有以下性质推论1.1.1设a,βV*那么(1) (α, β)Vol = β△*Q = α △*β,(2) *1 = Vol,(3) (*α, *β) = (α, β),(4) **α = (-1)r(n-r)a证明前三个结论是式(1-1)及式1-2)的直接推论.下面验证（4)(α, β)Vol = (*α,*β)Vol =*β ^**Q = (-1)(n-r)**Q △*β.另一方面，α,β)Vol=α^*β.因此，α^*β=(-1)r(n-r)**α △*β.-3-
第一章基础知识-由β的任意性立得(4)如果存在一个线性变换J：V一→V使得J2=一idy，那么我们称J是V的复结构，它可以视作（1,1)型张量。J也自然诱导了V*的复结构.设A是J在V的基底(ei-1上对应的矩阵，则At恰好是J在V*的对偶基底[e*i}"-1上对应的矩阵，易知A2=-I，其特征值为土i,dimmV=2m是偶数，注1.1.1如果W是复m维向量空间，则它作为实2m维向量空间有自然的复结构，即Jw=iw，wEW.反过来，一个带有复结构J的实2m维向量空间V，通过定义i·w=JyUEV,即成为复m维向量空间.■考虑V*的复化空间V*C，那么J可以延拓到V*C上，即对任意复值泛函入=α+iBEV*C，规定J入=JQ+iJβ.设Vc（相应地，Vc)是V*C中对应特征值i（相应地，一i）的复特征子空间，它们都是复m维空间，这里dimmV=2m引理1.1.3设V有复结构J,那么V*C=Vc田Vc且Vc与Vc中的元素在复共轭下一一对应，反之，如果V是偶数维实空间，且V*C有满足以上条件的直和分解，那么它必有唯一与此相容的复结构今取V*中的基底>：=e*i+ie*m+i（j=1,..m），这里dimmV*=2m由引理1.1.3知[,-构成*C的基.因J=i.,故得Je*j = -e*m+i, Je*m+j = e*j对偶到V的基底上，则有Jej = em+j,Jem+j=-ej推论1.1.2设J是V的复结构，那么在上述记号下，V有基底{ej，Jej]孚=1，这里dimRV=2m.进一步，我们有Λ (e ^ Jei)= (A()I≤j≤m1s3sm上述的基在适当排序下，我们可以将J：V一V对应的矩阵写为A=(0 1)(-10)引理1.1.3的直和分解也能推广到入"(V*C)上，即A"(V* & C) = (APVC) ^(AVc)p+q=有时我们简记VP9=（APVe)^（AVc).VP9中的元素称为(p,Q)次外形式设V有复结构JV上的Hermite结构H是满足以下条件的二元复值函数H：V×V→C(1) H(au+Bu,w)=aH(u,w)+βH(o,w), a,βER, u,,wEV,(2) H(u, v) = H(v, u),-4-
第一章基础知识(3) H(Ju, v) = iH(u, v).如果H还满足以下条件则称为正定的，(4) H(u,u) >0, u±0我们写H=G-iK.由性质(2)，有G(u,v) =G(,u), K(u,v) = -K(u,u))由性质(3).有G(u,) = -K(Ju,v), K(u,v) = G(Ju, v)以及J不变性G(u, v) = G(Ju, Jv), K(u, v) = K(Ju, Jo).G（K）是（反)对称实值双线性函数，即对应V上(0,2)型（反)对称张量.结合性质（4)可知，H是正定的当且仅当G给出了内积.K是实值的（1,1)次形式，即KeVn^2，我们称之为H的Kahler形式注1.1.2（1）对复m维向量空间W，因为它作为实2m维空间具有自然的复结构（见注记1.1.1)，所以其上的Hermite结构等价于满足以下条件的复值函数H(qu+βu, w) = aαH(u, w)+βH(u,w), H(u,v) = H(u,u), Vα, βe C, Vu,u,w W.(2）一个带有复结构J的实向量空间上如有满足J不变性的实值对称双线性函数，则显然可以诱导Hermite结构(3)对任何实向量空间V，若V上有实值对称双线性函数（,)，那么VC上自然诱导Hermite结构：(a1 +ip1, 2 +iβ2) := ((α1,Q2) +(B1,β2))+i((1,Q2)-(a1, β2), Qj,βj V如前所述，H正定当且仅当《，）是内积.回顾Vc中的基底：=e*i+ie*m+i（j=1,m).引理1.1.4设V有复结构J和Hermite结构H=G-iK，dimxV=2m，那么(1)(以下采用指标求和记法)H=hi,hiK=这里系数hk=H(ei,ek）满足hji=hkj(2)假设H是正定的，那么内积G诱导了^"V*C上的正定Hermite结构，记作hr：H也诱导了Vp上的正定Hermite结构，记为hp.q，它们满足关系式2"hr= hp9,(1-3)p+q=r上式右边求和号表示直和进一步，由内积G诱导的Hodge*算子可以自然延拓到^(V*C)上.我们有(α, β)Vol = α^*β, α, βE^r(V* C).-5-
第一章基础知识证明月（1）来自于直接计算以下证(2)：由注记1.1.2(3)，G诱导了VC上的正定Hermite结构H1，从而类似引理1.1.1，我们也得到V*C上的正定Hermite结构h+由此也得到Hodge算子的延拓另一方面，J在VC上也诱导了特征子空间分解V&C=W1,0 @w0,1W1.0的基底可以选为10; :=(ei-iJe)它们恰好和V1.0的基底入对偶.利用R线性同构1Re: w1.0 - V,0:~2e我们可以自然诱导W1.0上的正定Hermite结构H1,0.相应地，W0,1有正定Hermite结构H01通过对偶及张量积，我们可以分别诱导^"V*C及VP9=ΛPVe^Vc上的正定Hermite结构，分别记作hk及hp,9为证式（1-3)，我们只需要考虑r=1情形即可.这时由直接计算可得H = H1O@ HO1.)■将该式对偶到V*C上即得结论推论 1.1.3在引理1.1.4的条件下，复化的Hodge算子诱导了同构* : Vpg → Vm-q,m-p.假设h(ei,ej）=（1≤i,j≤m)，则Hodge算子的具体表达式为)m .(-1)m(m-1)+mp*(....)=2P+.*sgn(i..ipa1..-am-p)sgn(ji.jgβ...βm-)...m-aA...Jam-特别地，*2=（-1)p+9,本节最后考虑一个经典的例子例1.1.2考虑复平面C=R2一点处的切空间T=R《，）.它的余切空间T*则由对偶基dr,dy生成(1)T上有自然的复结构(等价于将切向量顺时针旋转号)%_aroy因而余切空间上也有相应的复结构Jdar=-dy.(2)T上有自然的J不变内积aaaaaa=0OrOrOy"QyOrOy对偶到余切空间T*上则有内积(da,da）=（dy,dy）=1，da,dy）=0.我们可以定义体积元Vol=dr^dy及Hodge算子*dx=dy，*dy=-dr-6-
第一章基础知识(3)考虑复化切空间TC，则它作为复2维向量空间由以下两个元素生成aa1/0.01(aa=2（-）2（+）复化余切空间T*C的对偶基为dz=dr + idy, dz=da-idy复结构可以延拓到T*C上，即Jdz=idz，Jdz=一idz，因此构成特征子空间的直和分解T* C= T1,0 T0,1这里 T1,0 = C(dz), T0,1 = T1,0= C(dz)(4)T的复结构J及自然内积诱导了其上的正定Hermite结构H=dzdz，亦即(aa)taaQ00HH:1,HOraruarQr Qyua它的Kahler形式为K=dzdz=dady对偶到余切空间T*上则有诱导的正定Hermite结构h=4%最，即h(da,da) = h(dy,dy) = 1, h(dr,dy) = h(dy,da) = i.(5)T的自然内积诱导了复化切空间上的正定Hermite结构Hi=号dzdz+dzdz，即a7aaa(00)-Hi)=()()=0=Hi(0z0z0元102W1,0=C(是）=V（相应地，W1,0)）上有正定Hermite结构H1.0=idzdz（相应地，H01=1dzdz).Hi又进一步诱导了复化余切空间T*C上的正定Hermite结构h1=2%+2是%使得hi(dz,dz) =hi(dz. dz) = 2. h(dz,dz) = hi(dz,dz) = 0另一方面，H1,0（相应地，H0,1）诱导了V10（相应地，V0,1）上的正定Hermite结构h10=4是品（相应地，ho1=4号）(6)*dz=*(dr+idy)=dy—idr=idz.同理*dz=idz此外，我们有*(dz^dz)=-2i*(dr^dy)=-2i以及*1 = dr ^ dy =1.2L?度量与微分算子这一节中，我们总假设X是n维紧黎曼流形，2是X上的k次微分形式向量丛，A(X）是其Coo整体截面空间.设2.是在点aEX处的k次微分形式全体设[ei}"=1是2x,的一组基，9ii=(ei；e是黎曼度量由引理1.1.1，我们可以自然诱导-7-