第三节金般今 ·一、金微分的定义 ·二、可微的条件 ·三、小结
第三节 全微分 • 一、全微分的定义 • 二、可微的条件 • 三、小结
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+△x,y)-f(x,y)≈f(x,y)△x f(x,y+△y)-f(x,y)≈f(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量 对x和对y的偏微分
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x y x x ( , ) f ( x , y y ) f ( x , y ) f x y y y ( , ) 二元函数 对 x 和 对 y 的偏微分 二元函数 对 x 和 对 y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义
全增量的概念 如果函数z=f(x,y)在点(，y)的某个邻域内有定 义，并设P'(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点， 则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+△y)-f(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,△y的全增量， 记作△z,即△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y):
全增量的概念 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ). z f x y x y P x x y y f x x y y f x y P x y z z f x x y y f x y 如果函数 在点 的某个邻域内有定 义，并设 为这邻域内的任意一点， 则称这两点的函数值之差 为函数在点 对应于自变量增量 的 ， 记 全增量 作 ，即
全微分的定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可以表示为 △Z=A△K+BAy+o(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关，p=V(△x)2+(④y)2 则称函数z=f(,y)在点（心，y)可微分，而 A△x+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分，记作z,即dz=A△x+B△y. 函数若在某区域D内各点处处可微分，则 称这函数在D内可微分
全微分的定义 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) , , , ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . z f x y x y z f x x y y f x y z A x B y o A B x y x y x y z f x y x y A x B y z f x y x y dz dz A x B y 如果函数 在点 的全增量 可以表示为 ，其中 不依赖于 而仅与 有关， 则称函数 在点 可微分， 全微 而 称为函数 在点 的 分，记作 ，即 函数若在某区域D内各点处处可微分，则 称这函数在D内可微分
结论：如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分， 则函数在该点连续. 事实上△z=A△x+B△y+0(p),lim△z=0, p-→0 (ox(.(x+Ac,y+△Fmf(x,)+△z 0-0 f(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(，y)连续
事实上 z A x B y o( ) , lim 0, 0 z ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x x y y lim[ ( , ) ] 0 f x y z f ( x , y ) ( , ) ( , ) . 如果函数z f x y x y 在点 可微分， 则函数在 结 ： 该点连续 论 故 函 数 z f x y x y ( , ) ( , ) . 在 点 连 续