《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.5隐函数的求导公式

第五节隐岛数的求导公式 ·、一个方程情形 ·二、方程组的情形 ·三、小、结思考题

第五节 隐函数的求导公式 • 一、一个方程情形 • 二、方程组的情形 • 三、小结 思考题

一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0的情形 隐函数存在定理：设函数F(x,y)在点P(x,y) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x,y)=0, F,(x,y)≠0，则方程F(,y)=0在点P(x,)的邻 域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的 函数y=f(x),它满足条件，=f(x,),并有 dy dx F 隐函数的求导公式

1 . ( , ) 0 F x y  的 情 形 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0, ( , ) 0 ( , ) ( ) ( ) y x y F x y P x y F x y F x y F x y P x y y f x y f x dy F dx F        设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 ， 则方程 在点 的邻 域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的 函数 ，它满 隐函数 足条 存 件 ，并有 在定理：

设y=f(x)为方程F(K,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 OF oF dy=0 Ox'ay dx 在(x,y)的某邻域内F,≠0 F dy dx F

两边对 x 求导 d d x y y F x F   0 F y 在 的某邻域内  则

若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 二阶导数 d2y +F,-e5,E dx2 +5,会正-1w ExxE-2EEF:+FE

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 2 2 d d y x  2 ( ) ( ) x x x y y y x y y x y dy dy F F F F F F dx dx F     2 2 3 2 x x y x y x y y y x y F F F F F F F F     则还有 2 [ ( )] [ ( )] x x x x x y y y x y y x y y y F F F F F F F F F F F        二阶导数

例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导，且x=0时y=的隐 函数y=f(x),并求此函数的一阶和二阶导数在 x=0的值. 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F,=2y, F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0， 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x)

解 令 ( , ) 1 2 2 F x y  x  y  则 F 2 x, x  F 2 y, y  F (0,1)  0, (0,1)  2  0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x  y   在 点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x  0 时y  1的 函 数 y  f ( x)． 2 2 1 1 0 (0,1) 0 1 ( ) 0 . x y x y y f x x        例 验 证 方 程 在 点 的 某 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导，且 时 的 隐 函 数 ，并 求 此 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 在 的 值