二、可微的条件 定理1（必要条件）如果函数z=f(x,y)在点(x,y) 可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 z虹必定 Ox Oy 存在，且函数z=f(x,y)在点(，y)的全微分为 dz Ox
二、可微的条件 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1( ) z f x y x y z z x y x y z f x y x y z z dz x y x y 如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 、 必定 存在，且函数 在点 的全微分为 定理 必要条件
证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分， P'(x+△x,y+△y)eP的某个邻域 △z=A△x+B△y+0(p)总成立， 当△y=0时，上式仍成立，此时p=△x f(x+△x,y)-f(x,y）=A·△.x+0(△x), lim +A,》-fx,y=A= Oz △x-→0 △x Ox 同理可得B= Oz dy
证 f x x y f x y ( , ) ( , ) A x o x (| |), 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y A x , z x . z B y 同理可得 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) , z f x y P x y P x x y y P z A x B y o 如果函数 在点 可微分， 的某个邻域 总成立 当 y 0时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此 时 | | x
一元函数在某点的导数存在<→ 微分存在. 多元函数的各偏导数存在<今全微分存在. y 例如，fx)={+严 x2+y2≠0 0 x2+y2=0 在点(0,0)处，f(0,0)=f,(0,0)=0
一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y (0 , 0 ) (0 , 0 ) (0 , 0 ) 0 x y 在 点 处 ， f f