第七节 方向导数与梯废 一方向导教的定义 梯度的橇念 三小结
第七节 方向导数与梯度 一 方向导数的定义 二 梯度的概念 三 小结
一、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题. 设函数z=f(化，y)在点 P(x,y)的某一邻域U(P) 1 内有定义，自点P引射线. 设x轴正向到射线1的转角 △x 为p,并设P(x+△x,y+△y) 为I上的另一点且P∈U(P): (如图)
讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z f (x, y) 一、方向导数的定义 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ) z f x y P x y U P P l 设函数 在点 的某一邻域 内有定义，自点 引射线 ． 0 0 0 , ( , ) ( ). x l P x x y y l P U P 设 轴正向到射线 的转角 为 并设 为 上的另一点且 （如图） o y x l P x y P0
设e,=(cosa必，sinB)是与同方向的单位向量，则的参数方程为 x=xo+icosa y=yo+tcos B 点P的坐标可以表示为(x,+tcosa,y+tsin B) 现在考虑x,+tcosa,+tc0sB)-fx,) t 当PP→0时，即t→0+时， f(x+tcos,+tcosB))-f(xoyn的极限
(cos ,sin ) l 设e l l 是与 同方向的单位向量，则 的参数方程为 0 0 cos 0 cos x x t t y y t 0 当 P P 0时， 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t 现在考虑 0 0 点P x t y t 的坐标可以表示为( cos , sin ) 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) t 的极限 t 0 即 时
定义函数的增量f(x。+tcosa,y+tcosB)-f(xo,y) 与PP两点间的距离t之比值，当P沿着1趋于P,时， 如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点P沿 方向1的方向导数. 记为f lim f(xo+tcosa,yo+tcosB)-f(xoVo) ∂L (x0,J0) t→0t 依定义，若函数f(x,y)在点P的偏导数∫x,∫，都存在， 则f(x,y)沿着x轴正向E1={1,0}、y轴正向e2={0,1}的 方向导数分别为∫x,∫，；沿着x轴负向、y轴负向的方向 导数是一f,f
0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( cos , cos ) ( , ) lim . t x y f f x t y t f x y l t 依定义，若函数 f (x, y)在 点P的偏导数 x y f , f 都存在， 则 f ( x, y)沿着x轴正向 {1,0} e1 、y轴正向 {0,1} e2 的 方向导数分别为 x y f , f ；沿着 x轴负向、 y轴负向的方向 导数是 x y f , f . 0 0 0 0 0 0 0 f x t y t f x y ( cos , cos ) ( , ) P P t P l P P l 函数的增量 与 两点间的距离 之比值，当 沿着 趋于 时， 如果此比值的极限存在，则称这极限为函数在点 沿 方 定义 向 的方向导数． 记为
但是反之，方向导数存在，偏导数不一定存在 例如z=Vx2+在(0,0)点沿1=访向的方向导数 =1, o.0) 而偏导数不存在. 定理若函数f(x,y)在点P(x,y)处可微分，那么 函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且有 of =f(xo,Yo)cosa+f(xo,Yo)cosB (o) 其中c0s,cosB是方向的方向余弦
但是反之，方向导数存在，偏导数不一定存在. 2 2 (0,0) (0,0) 1 z z x y l i l 例如 = 在 点沿 方向的方向导数 = ， 而偏导数不存在. 0 0 000 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , )cos ( , )cos cos ,cos . x y x y f x y P x y l f f x y f x y l l 若函数 在点 处可微分 那么 函数在该点沿任一方向 的方向导数存在， 定理 且有 其中 是方向 的方向余弦